Il problema di Didone

Devenere locos ubi nunc cernis
ingentia moenia arcemque novae Karthaginis surgentem,
mercatique solum Byrsam, de nomine facti,
quantum possent circumdare taurino tergo.

(Virgilio, Eneide, Libro I)

La leggenda riportata da Virgilio narra di Didone, la regina dei Fenici che, fuggita in Africa dopo l'assassinio del marito ad opera del fratello, chiese al re locale Yarba di concederle una quantità di terra che potesse essere circondata dalla pelle di un toro. Il re accettò, parendogli una richiesta molto modesta, al che Didone fece tagliare la pelle in striscioline sottili, che unì insieme per formare una lunga corda con la quale circondò ciò che sarebbe diventato il futuro insediamento di Cartagine.

Nell'attuare il suo piano, Didone si trovò davanti a ciò che può essere considerato il primo problema isoperimetrico della storia, che per questo motivo è anche noto come

Problema di Didone. Determinare la figura geometrica piana che massimizza l'area, a parità di perimetro.

I geometri antichi intuirono che la risposta corretta è "il cerchio", ma le prime dimostrazioni rigorose vennero trovate solo nella seconda metà dell'800.

I primi tentativi di approcciare il problema risalgono al tempo dei greci. Zenodoro (150 a.C.) dimostrò che, a parità di perimetro, se esiste un $n$-agono che massimizza l'area questo deve essere regolare, e che dati due poligoni regolari con lo stesso perimetro quello con più lati ha l'area maggiore. Inoltre, metodi di esaustione simili a quelli di Archimede facevano vedere che il cerchio ha un area maggiore di ogni poligono regolare con lo stesso perimetro.

Questi risultati non risolvono il problema di Didone, in quanto non è affatto chiaro a priori che una figura di area massima esista, anche se per lungo tempo questo sottile aspetto della questione non venne considerato.

Per oltre 1900 anni non vi furono ulteriori progressi, finché verso il 1750 Eulero (e poi Lagrange) approcciarono analiticamente il problema per mezzo di quelle che oggi chiamiamo "equazioni di Eulero-Lagrange", che costituiscono la base del moderno Calcolo delle Variazioni.

Il metodo analitico forniva (correttamente) l'equazione di una circonferenza come bordo della figura massimizzante l'area; tuttavia, come rilevato da Weierstrass, esso lasciava ancora aperta la questione dell'esistenza della soluzione.

Il passo finale venne compiuto da J. Steiner: grazie ad un ingegnoso metodo geometrico che oggi è chiamato in suo onore simmetrizzazione di Steiner, egli dimostrò che è possibile trasformare una regione chiusa $D$ di $\mathbb{R}^2$, con bordo regolare a tratti, in modo che la sua area rimanga invariata e il perimetro decresca.

Simmetrizzazione di Steiner

Si può far vedere che, applicando una successione di simmetrizzazioni rispetto ad opportune rette, la successione di figure che si ottiene converge ad un cerchio, avente la stessa area di $D$, rispetto alla metrica di Hausdorff. Come osservato da Edler e Steiner, questo è sufficiente a dimostrare che ogni dominio del piano con lo stesso perimetro del cerchio ha area minore di esso, completando la soluzione del problema di Didone nel piano.

L'analogo problema in dimensione superiore ("determinare il dominio di $\mathbb{R}^n$ di massimo volume a parità di area della superficie") ha ancora per soluzione la palla $n$-dimensionale; tuttavia, la dimostrazione è molto più delicata che nel piano, e si basa su alcune fondamentali diseguaglianze scoperte da Brunn, Minkowski e Lyusternik.

Lo studio del problema isoperimetrico in dimensione superiore ha motivato le ricerche della scuola italiana riguardo la definizione di "area" nel caso di domini non lisci, e in particolare i lavori (oggi considerati classici) di Caccioppoli e De Giorgi sull'argomento.

Per maggiori dettagli sull'argomento di questo post, il lettore può consultare [Ban17].

Riferimenti:

[Ban17] C. Bandle: Dido's problem and its impact in modern mathematics, Notices AMS 64 (Volume 9), Ottobre 2017.