La classificazione dei gruppi semplici finiti

Es wäre von dem grössten Interesse, wenn eine Uebersicht des sämmtlichen einfachen Gruppen von einer endlichen Zahl von Operationen gegeben werden könnte. 
(Sarebbe del massimo interesse, se fosse possibile dare una classificazione di tutti i gruppi semplici di ordine finito). [4, p. 1]


Un gruppo è detto semplice se non possiede sottogruppi normali non banali. Per il teorema di Jordan–Hölder sulle serie di composizione, i gruppi semplici finiti possono essere visti come "blocchi elementari" che permettono di costruire per estensioni successive tutti i gruppi finiti, pertanto la loro classificazione costituisce un problema centrale nella teoria.

Un esempio banale di gruppo semplice finito è dato dai gruppi ciclici $\mathbb{Z}_p$ di ordine primo. Un esempio più sofisticato è fornito dai gruppi alterni $A_n$, con $n \geq 5$; di fatto, la semplicità di $A_n$ è alla base della moderna dimostrazione del teorema di Abel-Ruffini sulla non-risolubilità per radicali della generica equazione algebrica di grado almeno $5$.

Il problema (enormemente difficile) della classificazione dei gruppi semplici finiti è anche noto come Programma di Gorenstein, per via dei due fondamentali lavori scritti da D. Gorenstein negli anni 1982-83 che risolvevano quasi completamente la questione, lasciando aperti alcuni casi (i cosiddetti "quasithin groups") che vennero trattati successivamente da Aschbacher e Smith (2004, 2011). Il risultato finale è il seguente, vedi [1]:

Teorema. Se $G$ è un gruppo semplice finito, allora siamo in uno dei seguenti casi:

(1) $G$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_p$ per un dato primo $p$;
(2) $G$ è isomorfo ad $A_n$ per un dato $n \geq 5$;
(3) $G$ è un gruppo finito di tipo Lie;
(4) $G$ è isomorfo ad uno dei cosiddetti $27$ gruppi sporadici.

Nei casi (1), (2), (3) si hanno famiglie infinite di gruppi; invece, ogni gruppo sporadico in (4) è unico a meno di isomorfismi.

Il più piccolo gruppo sporadico, di ordine 7920, venne scoperto da E. L. Mathieu nel 1861, ed in suo onore è oggi indicato con M11. Il gruppo sporadico più grande è invece il cosiddetto "Fischer-Griess monster" M, costruito (a mano!) nel R. Griess nel 1982 e il cui ordine è pari a $$ 808017424794512875886459904961710757005754368000000000.$$ Come stimolante lettura divulgativa sulla storia dei gruppi sporadici e dei loro scopritori il lettore può consultare [2].

La dimostrazione completa del Teorema di Classificazione dei gruppi semplici finiti richiede diverse migliaia di pagine, ed è basata sui numerosi articoli scritti nel corso di circa 100 anni da matematici come Mathieu, Janko, Conway, Fisher, Higma, Suzuki, Feit, Thompson, Griess, Aschbacher, Gorenstein, etc.

A partire dal 1985, gli sforzi dei teorici dei gruppi sono concentrati sulla cosiddetta "Dimostrazione di seconda generazione", che si propone di semplificare gli argomenti, eliminando ogni ridondanza ed usando tecniche più moderne e generali che permettano di trattare vari casi contemporaneamente.

Alcune parti della dimostrazione sono state anche verificate al computer tramite il linguaggio Coq; un esempio è il fondamentale e difficile teorema di Feit-Thompson ("Ogni gruppo finito di ordine dispari è risolubile"), verificato da G. Gonthier e i suoi collaboratori nel 2013, vedi [3].

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups
[2] M. Ronan: Il mostro e la simmetria, Cortina Editore 2007.
[3] G. Gonthier et al.: A Machine-Checked Proof of the Odd Order Theorem, Lecture Notes in Computer Sciences 7998 (2013), https://doi.org/10.1007/978-3-642-39634-2_14.
[4] O Holder: Die einfachen Gruppen in ersten und Zweiten Hundert der Ordnungszahlen, Mathematische Annalen 40 (1892), 55-88.

"A Doubter's Almanac" di Ethan Canin

Per una curiosa coincidenza, nei torridi giorni di agosto in cui tutte le reti sociali celebravano la meritata medaglia Fields di Alessio Figalli, ero intento a leggere questo lo strano romanzo "A doubter's almanac'' di Ethan Canin, scoperto grazie ad una recensione sui Notices AMS.

Il protagonista è Milo Andret, un giovane scontroso ed introverso che trascorre una solitaria infanzia nei boschi del Michigan settentrionale, e che è dotato di un singolare talento matematico che lo porta ad essere ammesso al prestigioso programma dottorale dell'Università di Berkley.

Nella sua tesi di dottorato Andret risolve l'immaginaria Congettura di Malosz, un difficilissimo problema topologico che eludeva gli sforzi dei matematici da decenni, e grazie a questo exploit ottiene una cattedra a Princeton, la medaglia Fields e la fama mondiale.

Spinto da un'ambizione e un egoismo pari solo al suo talento, Andret si rimette subito all'opera attaccando la (anch'essa immaginaria) Congettura di Abendroth, un problema di Topologia Algebrica ritenuto difficile quanto l'Ipotesi di Riemann. Lavorando senza sosta giorno e notte, e sostenuto solo da forti dosi di bourbon e sesso, Milo arriva vicinissimo alla meta, ma viene battuto in extremis da un giovane matematico di Palo Alto, che pubblica una soluzione prima di lui.

Questa débâcle segna di fatto la fine della carriera di Andret, che non sarà mai più matematicamente produttivo, e finirà per essere consumato dalle sue ossessioni, circondato da una famiglia disfunzionale i cui membri hanno ereditato sia il suo genio che la sua instabilità mentale.

L'autore del romanzo non è un matematico, ma ha ricevuto un dottorato in medicina ad Harvard, e la cosa si vede da alcune piccole imprecisioni tecniche che tuttavia non guastano la godibilità e l'eleganza della scrittura.

Più che la matematica in sè, comunque, il tema del libro è il rapporto fra genio e auto-distruzione, ambizione e ossessione, amore e tormento. Nulla di veramente originale, in verità, ma forse a qualcuno sarà capitato almeno una volta di pensare "Sarei disposto a distruggere la mia vita e quella di chi mi ama, in cambio della medaglia Fields?"