21 marzo 2020

Il ragno e la mosca

Un classico rompicapo di Henry Dudeney (1903) per far passare un po' il tempo in questi giorni di reclusione forzata. Lo enunciamo nella versione originale, con le misure in piedi (1 piede = 0,3048 metri), vedi [1], [2].

Abbiamo una stanza a forma di parallelepipedo, le cui misure (in piedi) sono $30 \times 12 \times12$. Un ragno (A) si trova a metà di una delle facce $12 \times 12$, a un piede dal soffitto. Una mosca (B) si trova a metà della faccia opposta, ad un piede dal pavimento.


Supponendo che la mosca resti ferma, qual è la lunghezza del minimo tragitto che il ragno deve compiere sulle pareti della stanza (soffitto e pavimento eventualmente compresi) per raggiungerla?


Il problema di Dudeney rientra in quella categoria di rompicapo che sembrano a prima vista difficilissimi da risolvere, per poi diventare sostanzialmente elementari nel momento in cui li si guarda dalla giusta prospettiva.

L'idea è quella di considerare tutti i possibili sviluppi piani del parallelepipedo. Allora il percorso minimo è la minima lunghezza di un percorso lineare fra (A) e (B).  Nel caso specifico, si verifica facilmente che la distanza minima è di $40$ piedi, come mostrato nell'immagine sottostante. Sorprendentemente, il percorso minimo tocca ben cinque delle sei facce del parallelepipedo.


L'immagine è tratta dall'interessante articolo [3], che generalizza il problema ad arbitrarie posizioni di mosca e ragno sulle facce opposte, nel caso particolare in cui il parallelepipedo sia un cubo.

Riferimenti.

[1] https://mathworld.wolfram.com/SpiderandFlyProblem.html
[3] R. Goldstone, R. Roca, R. Suzzi Valli: Shortest paths on cubes,
https://arxiv.org/pdf/2003.06096

14 marzo 2020

Matematici in pillole: i fratelli Chudnowsky

I fratelli David Volfovich Chudnovsky (1947) and Gregory Volfovich Chudnovsky (1952) sono due matematici sovietici naturalizzati americani, famosi per essere stati i primi (1989) a calcolare $\pi$ con un miliardo di cifre decimali esatte [1].

Il metodo usato si basa su una variante rapidamente convergente della serie ipergeometrica di Ramanujan, che oggi porta il loro nome [2]: $$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (545140134k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 \left(640320\right)^{3k + 3/2}}.$$ Due anni dopo, nel 1991, essi infransero la barriera dei due miliardi di cifre decimali esatte, utilizzando un supercomputer costruito con componenti ordinati via posta e assemblato nel loro appartamento di Manhattan.

Gregory soffre sin da giovane di myasthenia gravis, ed è assistito nelle incombenze della vita quotidiana dal fratello David [3].

Riferimenti.

[1] 
https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_brothers
[2] 
https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm
[3] 
The mountains of $\pi$, The New Yorker, March 1992.

04 marzo 2020

Matematici in pillole - Tullio Levi Civita

Il calcolo tensoriale, chiamato all'inizio calcolo differenziale assoluto, venne introdotto dai due matematici italiani Tullio Levi Civita (1873-1941) e Gregorio Ricci Curbastro (1853-1925) nel loro fondamentale lavoro Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Mathematische Annalen 54, 1900).

Come è ben noto, esso è alla base della Teoria della Relatività Generale, sviluppata da Albert Einstein nel periodo 1905-1916.

L'ammirazione di Einstein per Levi-Civita era sconfinata. Un giorno, interrogato su cosa gli piacesse di più dell'Italia, il fisico tedesco rispose: "Gli spaghetti e Levi-Civita".

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Tullio_Levi-Civita