Il ragno e la mosca

Un classico rompicapo di Henry Dudeney (1903) per far passare un po' il tempo in questi giorni di reclusione forzata. Lo enunciamo nella versione originale, con le misure in piedi (1 piede = 0,3048 metri), vedi [1], [2].

Abbiamo una stanza a forma di parallelepipedo, le cui misure (in piedi) sono $30 \times 12 \times12$. Un ragno (A) si trova a metà di una delle facce $12 \times 12$, a un piede dal soffitto. Una mosca (B) si trova a metà della faccia opposta, ad un piede dal pavimento.

Supponendo che la mosca resti ferma, qual è la lunghezza del minimo tragitto che il ragno deve compiere sulle pareti della stanza (soffitto e pavimento eventualmente compresi) per raggiungerla?

Il problema di Dudeney rientra in quella categoria di rompicapo che sembrano a prima vista difficilissimi da risolvere, per poi diventare sostanzialmente elementari nel momento in cui li si guarda dalla giusta prospettiva.

L'idea è quella di considerare tutti i possibili sviluppi piani del parallelepipedo. Allora il percorso minimo è la minima lunghezza di un percorso lineare fra (A) e (B).  Nel caso specifico, si verifica facilmente che la distanza minima è di $40$ piedi, come mostrato nell'immagine sottostante. Sorprendentemente, il percorso minimo tocca ben cinque delle sei facce del parallelepipedo.

L'immagine è tratta dall'interessante articolo [3], che generalizza il problema ad arbitrarie posizioni di mosca e ragno sulle facce opposte, nel caso particolare in cui il parallelepipedo sia un cubo.

Riferimenti.

[1] https://mathworld.wolfram.com/SpiderandFlyProblem.html

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/The_spider_and_the_fly_problem

[3] R. Goldstone, R. Roca, R. Suzzi Valli: Shortest paths on cubes,
https://arxiv.org/pdf/2003.06096