31 maggio 2021

$1+2+3+4+\ldots = - \frac{1}{12}$

L'immagine allegata mostra la pagina di taccuino in cui Srinivasa Ramanujan "dimostra" la celebre "identità" $$1+2+3+4+ \ldots = - \frac{1}{12}.$$ L'argomento, ovviamente errato così come è scritto, occupa le prime sei righe del foglio ed è simile a quelli che solitamente si incontrano nelle pagine divulgative sull'argomento: posto
$$c = 1+2+3+4+ \ldots,$$
si ha $$4c = 4+8+12+16+ \ldots,$$
e quindi  $$-3c = 1 +(2-4)+3+(4-8)+5+(6-12)+ \ldots = 1-2+3-4+5-6+ \ldots$$ La "somma" di questa serie a segni alterni è "calcolata" da Ramanujan considerando lo sviluppo di Taylor
$$\frac{1}{(1+x)^2} = 1−2x+3x^2−4x^3+ \ldots $$ e ponendo $x=1$. Questo fornisce $-3c = 1/4$, quindi $c = -1/12$.

È evidente che tale risultato non può sussistere nel senso usuale di "somma di una serie", in quanto (ad esempio) il termine generale di $1+2+3+4+ \ldots$ non è infinitesimo; infatti, la serie dei numeri naturali diverge nel senso usuale.

Più precisamente, almeno due passaggi cruciali della "dimostrazione" esposta sono non giustificabili dal punto di vista della moderna Analisi Matematica:
  1. non è in generale lecito sommare termine a termine due serie divergenti, tra l'altro dopo averle riarrangiate, e ragionare come se si trattasse di somme finite; 
  2. lo sviluppo di Taylor sopra considerato vale solo per $|x|<1$.
Tuttavia, è possibile dare un senso all'identità di Ramanujan considerando una appropriata definizione di "somma di una serie divergente", che passa attraverso un procedimento di regolarizzazione della funzione zeta di Riemann.

Infatti, il risultato di Ramanujan era motivato dal fatto che, quando $s=-1$, si ha $\zeta(s)=-1/12$, mentre il valore "formale" in $s=-1$ della funzione zeta è proprio la serie dei numeri naturali. Questo è ben spiegato nel post divulgativo di Evelyn Lamb sul blog di Scientific American [1].

Una discussione più approfondita e tecnica delle somme di Ramanujan si trova nello splendidol post di Terence Tao [2] che, fra le altre cose, illustra il legame della regolarizzazione di $\zeta(s)$ con altri argomenti classici dell'Analisi, come i numeri di Bernoulli, la funzione di von Mangoldt e la formula di Poisson.

In generale, il concetto di "somma di una serie divergente" può essere definito in vari modi, non tutti fra loro equivalenti. Un classico riferimento bibliografico per questo argomento è la monografia di G. H. Hardy Divergent Series, oggi liberamente scaricabile in formato pdf [3].


Fonte immagine: @stevenstrogatz

Riferimenti.

[1] https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/does-123-really-equal-112/
[2] https://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
[3] https://sites.math.washington.edu/~morrow/335_17/Hardy-DivergentSeries%202.pdf

25 maggio 2021

La costante di Brun

Non è al momento noto se esistano infinite coppie di primi gemelli. Tuttavia, nel 1919, Viggo Brun dimostrò [1] il seguente
Teorema. La serie dei reciproci dei primi gemelli $$(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+ \ldots \quad  (*) $$ è convergente (o finita).
(Si ricordi che invece, per un ben noto risultato di Eulero, la serie dei reciproci di tutti i primi è divergente).

La somma della serie $(*)$, detta costante di Brun, si indica il genere con $B_2$. Tale serie converge molto lentamente: dopo aver sommato un miliardo di termini, si stima che vi sia ancora un errore relativo del $5$%. Se si usano $10^{16}$ coppie di primi gemelli, il valore della somma è circa $1.902160583104$.

Si sa dimostrare incondizionatamente (cioè, senza utilizzare l'Ipotesi di Riemann) che $B_2< 2.347$; assumendo tale ipotesi, si ha la stima migliore $B_2< 2.1754$, vedi [2].

Non è noto al momento se $B_2$ sia o meno irrazionale. Ovviamente, se si riuscisse a dimostrare che lo è, ciò implicherebbe che esistono infinite coppie di primi gemelli.

Riferimenti.

[1]
V. Brun: La série 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie. Bulletin des Sciences Mathématiques 43: 100–104, 124–128 (1919)

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Brun%27s_theorem

23 maggio 2021

Gruppi isomorfi al proprio quadrato

Dato un gruppo finito $G$, l'ordine di $G \times G$ è $|G|^2$. In particolare, se $G$ è non banale, allora $G \times G$ non è mai isomorfo a $G$.

Se, invece, l'ordine di $G$ è infinito, non è difficile costruire esempi che sono isomorfi al loro quadrato. Si consideri $$G=\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}_2,$$ il prodotto diretto di un'infinità numerabile di copie di $\mathbb{Z}_2$, con la somma componente per componente $$( (g_n)+(h_n) ) = (g_n + h_n).$$ Allora l'applicazione $f \colon  G \to G  \times G$ definita da $$f((g_1, \, g_2,  \, g_3, \ldots)) = ((g_1, \, g_3, \, g_5, \ldots), \; (g_2, \, g_4, \,  g_6, \ldots))$$ è un isomorfismo di gruppi.

Lo stesso tipo di argomento mostra che la somma diretta numerabile $$G=\bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{ℤ_2},$$ ovvero il sottogruppo di $G=\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}_2$ costituito dalle $n$-ple che hanno al più un numero finito di componenti non nulle, è isomorfo a $G \times G$.

Gli esempi presentati sopra sono gruppi non-finitamente generati. Sorprendentemente, esistono anche esempi di gruppi finitamente generati tali che $G ≃ G \times G$. Uno di essi, ottenuto come sottogruppo di una somma diretta numerabile di un opportuno prodotto amalgamato del gruppo di Baumslag–Solitar
$$\operatorname{BS}(2, \, 3) = \langle a, \, t  \mid  t a^2 t^{-1} = a^3 \rangle$$ è descritto in [1]. Tale gruppo, tuttavia, è non finitamente presentato. Un problema aperto, posto da Hirshon, è se esista un gruppo non banale e finitamente presentato $G$ tale che $G \simeq G \times G$.

20 maggio 2021

Kill (the) Bill

Nel 1897, il medico e matematico dilettante Edward J. Goodwin sottopose una proposta di legge al parlamento dello Stato dell'Indiana, dal lungo titolo

A Bill for an act introducing a new mathematical truth and offered as a contribution to education to be used only by the State of Indiana free of cost by paying any royalties whatever on the same, provided it is accepted and adopted by the official action of the Legislature of 1897.

La "new mathematical truth" era un metodo (ovviamente errato) per quadrare il cerchio, che implicava $\pi = 3.2$ (nonché $\sqrt{2} = 10/7$, giusto per non farsi mancare nulla). Per questo motivo, è passato alla storia come Indiana Pi Bill, invece che come "Bill n. 246/1897".

Il testo superò cinque letture in aula, ma non divenne mai legge grazie all'intervento di C. A. Waldo, professore all'Università di Purdue.


Fonte: https://www.history-of-mathematics.org/artifacts/indiana-pi-bill

16 maggio 2021

Quarte potenze

Un interessante algoritmo per calcolare la quarta potenza di un intero, che @fermatslibrary attribuisce a Dov Juzuk (1939).

Raggruppiamo gli interi positivi in insiemi di cardinalità crescente come segue: $$(1) \, (2, \, 3) \, (4, \, 5, \, 6) \, (7, \, 8, \, 9, \, 10) \, (11, \, 12, \, 13, \, 14, \, 15) \ldots $$ Poi, cancelliamo tutti i gruppi di cardinalità pari: $$(1) \, (4, \, 5, \, 6) \, (11, \, 12, \, 13, \,14, \,15) \ldots $$ La somma dei primi $n$ gruppi rimasti è esattamente $n^4$.

Esempi:

n=2 
$(1) + (4+5+6) = 16 = 2^4$

n=3
$(1) + (4+5+6) + (11+12+13+14+15) = 81 = 3^4$