10 gennaio 2019

Il Problema di Waring

Nel 1770 J. L. Lagrange dimostrò che ogni numero naturale è somma di al più quattro quadrati. Nello stesso anno, motivato da questo risultato, E. Waring propose quello che sarebbe poi diventato noto come
Problema di Waring. Dato un intero positivo $k$, esiste un (minimo) numero $g(k)$ tale che ogni numero naturale $n$ si scriva come somma di al più $g(k)$ potenze $k$-esime?
Banalmente $g(1)=1$, mentre il risultato di Lagrange, insieme al fatto che esistono numeri naturali che non si scrivono come somma di tre quadrati (ad esempio $7$), implica $g(2)=4$.

Nel 1909, D. Hilbert dimostrò [H09] che la risposta al Teorema di Waring è affermativa, ma le sue tecniche non erano costruttive, pertanto non davano indicazioni su come determinare esplicitamente i valore di $g(k)$ in funzione di $k$. Alcuni di tali valori vennero in seguito ricavati da differenti autori utilizzando metodi ad hoc:
  • $g(3)=9$ ($n=23$ è il minimo intero positivo che non è somma di $8$ cubi), vedi [W09, K12]
  • $g(4)=19$ ($n=79$ è il minimo intero positivo che non è somma di $18$ quarte potenze)
  • $g(5)=37$
  • $g(6)=73$, vedi [P40].
I valori attualmente conosciuti per $g(k)$ sono tabulati nella successione OEIS A002804, i cui primi termini sono $$1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055.$$ Una quantità correlata a $g(k)$ è $G(k)$, definito come il minimo intero tale che ogni numero naturale $n$ sufficientemente grande si possa esprimere come somma di al più $G(k)$ potenze $k$-esime. Ovviamente, si ha $G(k) \leq g(k)$ per ogni $k$, e l'eguaglianza vale se e solo se esistono infiniti numeri naturali che non si esprimono come somma di $g(k)-1$ potenze $k$-esime.

Siccome nessun intero congruente a $7 $ (modulo $8$) può essere rappresentato come somma di tre quadrati, si ha $G(2)=g(2)=4$. Il problema della determinazione di $G(k)$ è più difficile del corrispondente problema per $g(k)$, e infatti i valori di $G(k)$ per $k \geq 3$ non sono noti (eccetto $G(4)=16$, vedi [D39]), tuttavia si hanno a disposizione alcune stime. Ad esempio, si sa che $4 \leq  G(3) \leq 7 $.

In generale, usando il cosiddetto metodo del cerchio di Hardy e Littlewood, Vinogradov ha dimostrato il bound superiore $$G(k) \leq  k(3 \log k + 11).$$ Per ulteriori dettagli sull'argomento, il lettore può consultare il survey [VW02].

E. Waring (fonte Wikipedia) 

Riferimenti.

[D39] H. Davenport: On Waring's Problem for Fourth Powers, Ann. Math. 40 (1939), 731-747
[H09] D. Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl $n$-ter Potenzen (Waringsches Problem)Mathematische Annalen  67 (3) (1909), 281–300.
[W09] A. Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßtMathematische Annalen 66 (1) (1909), 95–101.
[K12] A. Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem, Mathematische Annalen 72 (3) (1912), 387–399.
[P40] S. S. Pillai: On Waring's problem $g(6)=73$, Proc. Indian Acad. Sci. 12 (1940), 30–40.
[VW02] R.C. Vaughan, T. Wooley: Waring Problem: a survey, in  Number Theory for the Millennium. III. Natick, MA: A. K. Peters. pp. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9.

24 dicembre 2018

Il Problema delle Otto Regine

È tempo di Natale, le famiglie si riuniscono e dai cassetti vengono tirate fuori le scatole con i giochi. Giochi elettronici, di ruolo, di carte e, ovviamente, giochi da scacchiera. Fra questi ultimi, gli scacchi sono sicuramente fra quelli che hanno dato vita al maggior numero di rompicapo matematici. Uno dei più celebri è il
Problema delle Regine. Data una scacchiera $n \times n$, qual è il massimo numero di regine che possono essere poste su di essa, in modo tale che nessuna attacchi le rimanenti?
Siccome ogni regina può muoversi in orizzontale, verticale e diagonale, il problema è equivalente a quello di disporre il massimo numero di pedine sulla scacchiera, in maniera tale che non ve ne siano due sulla stessa riga, colonna o diagonale. Da ciò segue che il massimo numero di regine non può superare $n$, e non è difficile dimostrare che su ogni scacchiera di ordine almeno $4$ esiste almeno una soluzione con esattamente $n$ regine.

Molto più difficile è il problema di descrivere tutte le soluzioni o, almeno, un insieme completo di soluzioni a meno di rotazioni e riflessioni (le cosiddette "soluzioni fondamentali"). Per la scacchiera $4 \times 4$ vi è una sola soluzione fondamentale, per quella $5 \times 5$ ve ne sono due, e di nuovo solo una per quella $6 \times 6$. Il numero di soluzioni fondamentali per la scacchiera $7 \times 7$ è sei, quella classica $8 \times 8$ ne possiede dodici, quella $9 \times 9$ quarantasei e quella $10 \times 10$ novantadue.

Il numero totale di soluzioni al variare di $n$ è tabulato nella sequenza OEIS A000170, mentre quello di soluzioni fondamentali è tabulato nella sequenza OEIS A002562. Al momento, non esiste una formula chiusa per il numero di soluzioni in funzione di $n$, tuttavia sono stati pubblicati algoritmi di tipo "bit vector encoding" per produrre tutte le soluzioni [3].

Il problema originale, per la scacchiera 8x8, fu formulato da M. Bezzel nella rivista berlinese Schachzeitung nel 1848, e le $12$ soluzioni fondamentali vennero pubblicate per la prima volta da F. Nauck nella rivista di Lipsia Illustrierte Zeitung (1850). La prima dimostrazione che esse esauriscono tutte le possibilità, basata sulla teoria dei determinanti, fu data da J. W. Glaisher nel 1874. Vi è esattamente una soluzione fondamentale in cui non esistono tre regine allineate, quella indicata col numero (10) in [1].

Le 12 soluzioni fondamentali sulla scacchiera $8 \times 8$ (fonte: Wolfram MathWorld)

Per maggiori notizie sul Problema delle Otto Regine, e sui problemi correlati in cui le regine sono sostituite con altri pezzi degli scacchi, il lettore può consultare [2].

Nota computazionale. Nella pagina Wikipedia [1] si può trovare il seguente script in Pascal per determinare una soluzione al Problema delle Otto Regine:

program eightqueen1(output);
 
var i : integer; q : boolean;
    a : array[ 1 .. 8] of boolean;
    b : array[ 2 .. 16] of boolean;
    c : array[ -7 .. 7] of boolean;
    x : array[ 1 .. 8] of integer;
 
procedure try( i : integer; var q : boolean);
    var j : integer;
    begin 
    j := 0;
    repeat 
        j := j + 1; 
        q := false;
        if a[ j] and b[ i + j] and c[ i - j] then
            begin 
            x[ i    ] := j;
            a[ j    ] := false; 
            b[ i + j] := false; 
            c[ i - j] := false;
            if i < 8 then
                begin
                try( i + 1, q);
                if not q then
                    begin 
                    a[ j] := true; 
                    b[ i + j] := true; 
                    c[ i - j] := true;
                    end
                end 
            else 
                q := true
            end
    until q or (j = 8);
    end;
 
begin
for i :=  1 to  8 do a[ i] := true;
for i :=  2 to 16 do b[ i] := true;
for i := -7 to  7 do c[ i] := true;
try( 1, q);
if q then
    for i := 1 to 8 do write( x[ i]:4);
writeln
end.

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzlehttps://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzle
[2] M. Gardner: Enigmi e giochi matematici, Vol. 4.
[3] Z. Qiu: Bit-vector encoding of $n$-queen problem. ACM SIGPLAN Notices. 37 (2) (2002), 68-70. 

04 dicembre 2018

Il porisma di Steiner

In geometria, il termine porisma viene spesso utilizzato per indicare una configurazione di oggetti che in generale non esiste e che tuttavia, non appena esiste, esiste in un’infinità di casi.  Uno dei porismi più famosi è quello che prende il nome dal matematico svizzero  J. Steiner (1796-1863), e che riguarda catene di circonferenze tangenti fra loro e a due circonferenze date. L’enunciato preciso è il seguente:
Porisma di Steiner. Siano $A$ e $B$ due circonferenze disgiunte nel piano, con $A$ interna a $B$. Supponiamo  che esista una catena di circonferenze $C_1, \ldots, C_n$, aventi le seguenti proprietà:
  1. Ogni circonferenza $C_i$ è tangente alla precedente e alla successiva, e inoltre $C_n$ è tangente a $C_1$ (in altre parole, la catena è chiusa); 
  2. Ogni $C_i$ è tangente sia ad $A$ che a $B$. 
Allora esistono infinite catene siffatte, tutte ottenibili da una fissata per mezzo di rotazioni. Inoltre, ogni circonferenza $C$, tangente sia ad $A$ che a $B$, è membro di una tale catena.
Una catena di circonferenza che verifica i punti (1) e (2) sopra è detta catena (chiusa) di Steiner. Dunque il Porisma di Steiner può essere anche enunciato dicendo che, se $A$ e $B$ ammettono una catena di Steiner formata da $n$ elementi, allora ne ammettono infinite.

Catene di Steiner (fonte Wikipedia)

Una bella dimostrazioni di questo sorprendente risultato è contenuta nel Capitolo 6 del libro di H. S. M. Coxeter [C89]. L’idea è quella di considerare una particolare inversione del piano, che trasformi le due circonferenze $A$ e $B$ in due circonferenze concentriche $A’$, $B’$. Siccome una tale inversione manda circonferenze tangenti in circonferenze tangenti, è ora sufficiente dimostrare l’enunciato per  $A’$, $B’$, nel qual caso è ovvio.

Si noti che questo argomento permette anche di dedurre che i punti di tangenza delle circonferenze della catena giacciono a loro volta su una circonferenza. Inoltre, un semplice calcolo mostra che i centri delle circonferenze della catena giacciono su un’ellisse, avente per fuochi i centri di $A$ e $B$.

Nel caso degenere in cui le circonferenze $A$, $B$ sono tangenti internamente in un punto $p$, è possibile considerare una particolare inversione che manda $p$ all’infinito, trasformando $A$ e $B$ in due rette parallele. La stessa dimostrazione di prima mostra che in tal caso esistono infinite catene di Steiner per $A$ e $B$, ciascuna delle quali formata a sua volta da un numero infinito di circonferenze (il cui raggio tende a zero man mano che esse si avvicinano a $p$). Questa situazione è trattata in dettaglio nel Capitolo 3 di [N97].

Riferimenti.

[C89] H. S. M. Coxeter: Introduction to Geometry, 2nd edition, Wiley and Sons 1989
[N97]  T. Needham: Visual Complex Analysis, Clarendon Press 1997.

24 novembre 2018

Il teorema di Sylvester-Gallai

Nel 1944, il matematico ungherese T. Gallai pubblicò una dimostrazione del seguente
risultato, rispondendo in tal modo ad un quesito posto nel 1883 da J. J. Sylvester:
Teorema. Consideriamo un insieme finito di punti di $\mathbb{R}^2$ tali che una retta passante per due qualsiasi di essi ne contenga un terzo. Allora tutti i punti sono allineati.
In altre parole, dato un insieme di punti non tutti allineati nel piano reale, esiste almeno una retta che contiene esattamente due di essi. Osserviamo che il teorema sussiste anche nel piano proiettivo $\mathbb{RP}^2$, dato che una configurazione finita di punti in tale piano può essere trasformata in una configurazione nel piano euclideo senza cambiare l'insieme delle rette che li congiungono, semplicemente scegliendo come retta all'infinito una retta che non contenga nessuno dei punti.

Oggi sono note molte dimostrazioni differenti del Teorema di Sylvester-Gallai. Una discussione di quella originale di Gallai può trovarsi in [BM90], mentre nella corrispondente pagina Wikipedia ne sono riportate altre due.

La prima, dovuta a L. M. Kelly, è di carattere geometrico elementare, e utilizza un argomento per assurdo basato sull'esistenza di una coppia (retta congiungente due punti, terzo punto) tale che gli elementi della coppia abbiano distanza minima fra tutte le possibili coppie di tale tipo.

La seconda, dovuta a E. Melchior, utilizza la teoria delle dualità, considerando la configurazione di rette in $(\mathbb{RP}^2)^*$, duale della data configurazione di punti in $\mathbb{RP}^2$, e mostrando  con un delicato argomento topologico che, se tali rette non passano tutte per un punto, allora esiste almeno un punto di $(\mathbb{RP}^2)^*$ per il quale passano esattamente due di esse.

È importante notare che il teorema di Silvester-Gallai non può essere generalizzato al piano
complesso $\mathbb{C}^2$ o, equivalentemente, al piano proiettivo $\mathbb{CP}^2$. Infatti, per un ben noto risultato di geometria algebrica elementare, i 9 punti di flesso di una cubica piana liscia $C_3$ in $\mathbb{CP}^2$ (ossia, di una curva definita da un'equazione omogenea di terzo grado $F(x, \, y, \, z)=0$) hanno la proprietà che la retta passante per due qualsiasi di essi ne contiene anche un terzo. Ciò è un'immediata conseguenza del fatto che i 9 punti di flesso di $C_3$ corrispondono esattamente ai punti di 3-torsione nella legge di gruppo sulla curva (definita da "tre punti hanno somma nulla se e solo se essi sono allineati").

Tali 9 punti di flesso, insieme alle 12 rette che li congiungono,  formano la cosiddetta configurazione di Hesse, indicata anche con il simbolo $9_4 12_3$, dato che vi sono 3 punti su ogni retta e 4 rette per ogni punto. Dal teorema di Sylvester-Gallai segue che la configurazione di Hesse non può essere realizzata su $\mathbb{R}$, cioè che i 9 flessi di una cubica liscia non possono avere tutti coordinate reali.


La configurazione di Hesse (fonte Wikipedia)


Riferimenti.

[BM90] P. Borwein, W. O. J. Moser: A survey of Sylvester's problem and its  generalizationsAequationes mathematicae 40 (1), 111-135 (1990)

06 novembre 2018

L'equazione funzionale di Cauchy

Problema. Supponiamo di avere una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che $f(x+y)=f(x)+f(y)$ per ogni $x, \, y \in \mathbb{R}$. È vero che  $f$ è una funzione lineare, ossia della forma $f(x)= kx$ per un fissato $k \in \mathbb{R}$?
L’equazione funzionale
\begin{equation} \label{eq:Cauchy}
f(x+y)=f(x)+f(y)\tag{$*$}
\end{equation} è detta equazione funzionale di Cauchy. È facile rendersi conto che, se $f \colon \mathbb{Z}  \to  \mathbb{Z}$ verifica $(*)$, allora $f$ è lineare sugli interi. Infatti si ha
\begin{equation*}
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=f(1) \cdot 2,
\end{equation*} da cui, iterando, si ottiene $f(n)=f(1) \cdot n$, cioè $f(n)=kn$ con $k=f(1)$. Una semplice variante di questo argomento mostra che, se $f \colon \mathbb{Q}  \to \mathbb{Q}$ soddisfa l'equazione funzionale di Cauchy, allora $f$ è lineare sui razionali.

Quando invece si considerano funzioni $f  \colon \mathbb{R}  \to \mathbb{R}$, la natura delle soluzioni cambia radicalmente. Nel 1821, A. L. Cauchy dimostrò, nel suo seminale Cours d’Analyse, che ogni funzione reale che soddisfi $(*)$ e che sia anche continua è necessariamente lineare. Successivamente, nel 1875, G. Darboux provò che, per garantire la linearità, è sufficiente la continuità di $f$ in un solo punto [D75], e cinque anni dopo fece vedere che basta supporre che esista un intervallo nel quale $f$ sia monotona [D80].

La questione venne completamente risolta nel 1905 da G. Hamel [H05], dal cui lavoro risultò che la generica soluzione dell’equazione funzionale di Cauchy su $\mathbb{R}$ è una funzione patologica, cioè non lineare. Il procedimento di Hamel per ricavare le sue soluzioni patologiche era non costruttivo, e faceva uso di quella che oggi viene chiamata una base di Hamel di $\mathbb{R}$ come $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale, la cui esistenza è equivalente all’assioma di scelta.


G. Hamel (fonte: Berliner Mathematische Gesellschaft)

Per quanto detto sopra, ogni soluzione patologica dell’equazione funzionale di Cauchy è necessariamente discontinua in ogni punto e non-monotona in ogni intervallo. Si può anche far vedere che ogni tale funzione è non-misurabile secondo Lebesgue. Per maggiori particolari sull’equazione funzionale di Cauchy e sulle proprietà delle sue soluzioni patologiche, il lettore può consultare [MSE].


Riferimenti.

[D75] G. Darboux: Sur la composition des forces en statiqueBulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques 9 (1875), 281-299.
[D80] G. Darboux: Sur le théorème fondamental de la Géométrie projective, Mathematische Annalen 17 (1880), 55-61.
[H05] G. Hamel: Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung $f(x+y)=f(x)+f(y)$, Mathematische Annalen 60 (1905), 459-462.
[MSE] https://math.stackexchange.com/questions/423492/overview-of-basic-facts-about-cauchy-functional-equation

20 ottobre 2018

Il progetto Polymath

La visione usuale che il profano ha del matematico è quella di un genio solitario che lavora duramente, e possibilmente nell’isolamento più totale, per trovare la soluzione a qualche problema enormemente difficile.

Sebbene ciò sia ancora vero in alcuni casi (si pensi alla storia della soluzione dell’Ultimo Problema di Fermat da parte di A. Wiles), in realtà i matematici moderni tendono sempre più spesso a collaborare fra loro, in modo da beneficiare ciascuno delle competenze e abilità degli altri. Tuttavia, il numero di persone che lavorano insieme ad un singolo progetto è in genere piuttosto basso, tre-quattro al massimo, nulla in confronto alle decine o addirittura centinaia di persone che possono firmare un lavoro di Medicina o di Fisica delle particelle.

Un’eccezione a questa regola è fornita dal Progetto Polymath, lanciato nel 2009 (quasi come esperimento sociale) dal matematico britannico T. Gowers, Medaglia Fields nel 1998, in un famoso post sul suo blog, dal titolo “Is massively collaborative mathematics possible?"


T. Gowers (fonte: Wikipedia)

Gowers si domandava se fosse possibile attaccare problemi matematici irrisolti per mezzo di uno sforzo collaborativo da attuare su una piattaforma virtuale, ed arrivare in tal modo ad una soluzione che fosse la sintesi del lavoro di un grande numero di persone.

Le 225 risposte al post segnarono la nascita di Polymath, che fino ad oggi ha dato vita a 16 progetti. Fra questi, i seguenti si sono rivelati particolarmente fruttuosi:
  • Polymath 1, avente lo scopo di trovare una formula combinatoria per la densità nel teorema di Hales-Jewett. Il progetto ha visto la collaborazione di 40 persone, che hanno pubblicato due lavori sotto lo pseudonimo collettivo D.H.J. Polymath. 
  • Polymath 5, avente lo scopo di risolvere il problema della discrepanza di Erdős. Il progetto non raggiunse il suo scopo; tuttavia, poco tempo dopo, T. Tao trovò una soluzione, basandosi anche su alcuni risultati parziali di Polymath 5. 
  • Polymath 8, avente lo scopo di migliorare il bound di Y. Zhang sui primi a distanza limitata. Il progetto fu un successo, riuscendo ad abbassare il valore iniziale di circa 6 milioni ottenuto da Zhang fino a 4680. Successivamente, una ramificazione del progetto (Polymath8b) utilizzò delle nuove tecniche introdotte da J. Maynard per arrivare fino a 246. Questi risultati sono stati pubblicati in due articoli, il primo in Algebra e Number Theory e il secondo in  Research in Matematical Sciences, ancora una volta sotto lo pseudonimo D.H.J. Polymath. 
Nel 2016 è anche nato uno spin-off di Polymath chiamato Crowdmath, rivolto agli studenti delle scuole superiori e dei primi anni di università.

07 ottobre 2018

Curve che riempiono il quadrato

Alla fine dell'800, il sorprendente risultato di G. Cantor, secondo cui l'intervallo unitario $I=[0, \, 1]$
può essere messo in corrispondenza biunivoca con il quadrato $Q=I \times I$, aveva spinto i matematici a domandarsi se fosse possibile realizzare una corrispondenza biettiva e continua fra $I$ e $Q$.

La risposta risultò essere negativa: in termini moderni, siccome $I$ è uno spazio compatto e $Q$ è uno spazio di Hausdorff, per risultati standard di topologia generale una tale mappa dovrebbe essere
un omeomorfismo, il che è assurdo dato che $I$ può essere disconnesso togliendo un punto, mentre $Q$ non ha questa proprietà. 

Tuttavia, nel 1890, il matematico italiano G. Peano dimostrò il seguente sorprendente 
risultato [Pe890]:
Teorema. Esiste un'applicazione suriettiva e continua $\alpha \colon  I \to Q$.
In altre parole, Peano aveva scoperto l'esistenza di una curva continua che riempie tutto il quadrato, e che oggi viene appunto detta curva di Peano. Si tratta di un oggetto inaspettato, data l'idea intuitiva che in genere si possiede di "curva". Si noti che, per quanto osservato prima, la curva di Peano deve necessariamente auto-intersecarsi, dato che se $\alpha$ fosse iniettiva allora sarebbe un omeomorfismo. 


G. Peano (fonte Wikipedia)

La costruzione di Peano è basata su un procedimento di espansione ternaria dei numeri reali; leggendo l'articolo originale, però, ci si rende conto che l'autore aveva ben presente la costruzione della sua curva come limite uniforme di curve lineari a tratti. Questa idea venne esplicitata l'anno dopo da D. Hilbert, il cui lavoro [Hilb891] contiene il disegno delle successive iterazioni che convergono ad una curva che riempie il quadrato, una variante della curva di Peano oggi nota come curva di Hilbert.


Le prime sei iterazioni nella costruzione della curva di Hilbert (fonte Wikipedia).

Lievi modifiche delle costruzioni di Peano e Hilbert permettono di costruire curve continue che riempiono tutto l'ipercubo $n$-dimensionale $I^n$, ed anche curve (senza estremi) che riempiono lo spazio euclideo $n$-dimensionale $\mathbb{R}^n$. Per tali motivi si parla talvolta di  space-filling curves.

Oggi sono noti molti esempi di curve siffatte (curva di Sierpinski, curva di Moore, curva di Lebesgue). Sono tutti esempi di curve frattali, quindi non regolari. Infatti, dal lemma di Sard segue  che non può esistere una space-filling curve ovunque differenziabile. Si noti tuttavia che, mentre le curve di Peano e Hilbert non sono differenziabili in alcun punto, nell'esempio di Lebesgue si ha differenziabilità quasi ovunque.

L'esistenza di curve che riempiono il quadrato fa sorgere in modo naturale la seguente domanda:
è possibile caratterizzare gli spazi topologici che sono immagine continua dell'intervallo unitario $I$?
La risposta è affermativa, ed è fornita dal celebre
Teorema di Hahn–Mazurkiewicz. Uno spazio topologico $X$ è immagine continua di $I$ se e solo se $X$ compatto, connesso, localmente connesso e $2$-numerabile.
Infine, è anche possibile costruire curve continue e iniettive (ma non suriettive) $\alpha \colon I \to  Q$ la cui immagine ha area positiva: sono le cosiddette curve di Osgood.

Per maggiori dettagli sull'argomento di questo post, il lettore può consultare la monografia dedicata [Sa94].

Riferimenti:

[Pe890] G. Peano: Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane,
Mathematische Annalen 36 (1) (1890), 157–160, doi:10.1007/BF01199438
[Hilb891] D. Hilbert: Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück,
Mathematische Annalen 38 (3) (1891): 459–460, doi:10.1007/BF01199431
[Sa94] H. Sagan: Space-Filling Curves, Universitext, Springer-Verlag (1994).

13 settembre 2018

Formule che calcolano i numeri primi

Da qualche giorno circola sui social network la notizia che un tredicenne di Reggio Calabria avrebbe addirittura "scoperto una formula che potrebbe risolvere il grattacapo che impegna i matematici da più o meno tremila anni", ovvero "una formula in grado di calcolare tutti i numeri primi in successione". Non c'è bisogno di dirlo, tale scoperta "potrebbe essere usata per rinforzare le password dei nostri account virtuali, quelle bancarie per esempio". O anche per decrittarle, si intende.

L'articolo sul giovane prodigio non è stato postato su una rivista specializzata, ma sul sito del noto programma televisivo "Le Iene", non proprio il massimo in fatto di autorevolezza quando si parla di scienza (emblematico il caso del servizio che creò allarmismi ingiustificati sull'esperimento SOX nel Gran Sasso). Per quanto riguardo la "formula", essa "non può essere divulgata" in quanto il giovanotto teme che "qualcuno possa appropriarsene e prendersi i meriti di quella che potrebbe essere una scoperta grandiosa. Ed è infatti questo il motivo che ha spinto la mamma di Rubens a contattare la redazione de le Iene". E ti pareva.

Come qualcuno possa appropriarsi di qualcosa che viene divulgato pubblicamente dal suo scopritore non è in effetti molto chiaro. Nell'attesa che il mistero venga svelato, e volendo magari parlare realmente di Matematica invece di fare solo sensazionalismo, vale la pena ricordare che "formule che calcolano i primi" ne esistono già parecchie, vedi [2] e [3]. Il (grosso) problema è che non sono molto efficienti, per cui nella pratica è più conveniente utilizzare metodi classici, come il crivello di Eratostene o qualche sua variante.

Non è in realtà difficile dimostrare che non esiste nessun polinomio $P(n)$ non costante a coefficienti interi in una variabile $n$ che assuma valori primi per ogni intero positivo $n$ (o per tutti gli $n$ meno un numero finito di essi). Infatti, se $P(1)=p$ con $p$ primo, allora $P(1)$ è congruo a zero (mod $p$). Da qui segue facilmente che  $P(1+kp)$ è congruo a zero (mod $p$) per ogni $k \in \mathbb{Z}$. Dunque $P(1+kp)$ è primo se e solo se è uguale a $p$, e un polinomio che assume infinite volte il valore $p$ è necessariamente costante.

Un esempio famoso (legato in modo non banale alle spirali di Ulam e ai numeri di Heegner) è il polinomio $n^2+n+41$, che produce numeri primi per ogni $n \leq 39$. Per $n=40$ il valore assunto è invece $1681=41 \times 41$.

Siccome l'insieme dei primi è computazionalmente numerabile, segue dal Teorema di Matiyasevich che esso può essere descritto per mezzo di un sistema di equazioni diofantee. Jones e i suoi collaboratori hanno determinato nel 1976 un sistema esplicito di tali equazioni, il che ha permesso di scrivere un polinomio in 26 variabili, a coefficienti interi, tale che l'insieme dei suoi valori interi positivi coincida con l'insieme dei numeri primi [3]. Per risultati generali della teoria è possibile trovare un polinomio di questo tipo con solo $10$ variabili, ma in tal caso il grado è enorme (dell'ordine di $10^{45}$).

Un altro esempio di formula che produce solo valori primi è $$f(n) = \lfloor A^{3^n} \rfloor,$$ dove $A=1.3063778838630806904686144926 \ldots$  è la cosiddetta costante di Mills (il valore di A è calcolato supponendo vera l'ipotesi di Riemann). Non si sa al momento se $A$ sia o meno irrazionale. I numeri prodotti dalla formula sopra sono detti "primi di Mills", e sono tabulati nella successione OEIS A051254: $$2, 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183, \ldots$$ La formula di Mills, come altre "formule che calcolano i primi", per quanto interessante dal punto di vista teorico ha scarso valore pratico, dato che non vi è modo di calcolare esplicitamente la costante $A$ senza già conoscere a priori la successione dei primi.

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes
[2] http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html
[3] Jones, James P.; Sato, Daihachiro; Wada, Hideo; Wiens, Douglas: Diophantine representation of the set of prime numbers, American Mathematical Monthly 83 (6), 449–464.

29 agosto 2018

La classificazione dei gruppi semplici finiti

Es wäre von dem grössten Interesse, wenn eine Uebersicht des sämmtlichen einfachen Gruppen von einer endlichen Zahl von Operationen gegeben werden könnte. 
(Sarebbe del massimo interesse, se fosse possibile dare una classificazione di tutti i gruppi semplici di ordine finito). [4, p. 1]


Un gruppo è detto semplice se non possiede sottogruppi normali non banali. Per il teorema di Jordan–Hölder sulle serie di composizione, i gruppi semplici finiti possono essere visti come "blocchi elementari" che permettono di costruire per estensioni successive tutti i gruppi finiti, pertanto la loro classificazione costituisce un problema centrale nella teoria.

Un esempio banale di gruppo semplice finito è dato dai gruppi ciclici $\mathbb{Z}_p$ di ordine primo. Un esempio più sofisticato è fornito dai gruppi alterni $A_n$, con $n \geq 5$; di fatto, la semplicità di $A_n$ è alla base della moderna dimostrazione del teorema di Abel-Ruffini sulla non-risolubilità per radicali della generica equazione algebrica di grado almeno $5$.

Il problema (enormemente difficile) della classificazione dei gruppi semplici finiti è anche noto come Programma di Gorenstein, per via dei due fondamentali lavori scritti da D. Gorenstein negli anni 1982-83 che risolvevano quasi completamente la questione, lasciando aperti alcuni casi (i cosiddetti "quasithin groups") che vennero trattati successivamente da Aschbacher e Smith (2004, 2011). Il risultato finale è il seguente, vedi [1]:
Teorema. Se $G$ è un gruppo semplice finito, allora siamo in uno dei seguenti casi:

(1) $G$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_p$ per un dato primo $p$;
(2) $G$ è isomorfo ad $A_n$ per un dato $n \geq 5$;
(3) $G$ è un gruppo finito di tipo Lie;
(4) $G$ è isomorfo ad uno dei cosiddetti $27$ gruppi sporadici.
Nei casi (1), (2), (3) si hanno famiglie infinite di gruppi; invece, ogni gruppo sporadico in (4) è unico a meno di isomorfismi.

Il più piccolo gruppo sporadico, di ordine 7920, venne scoperto da E. L. Mathieu nel 1861, ed in suo onore è oggi indicato con M11. Il gruppo sporadico più grande è invece il cosiddetto "Fischer-Griess monster" M, costruito (a mano!) nel R. Griess nel 1982 e il cui ordine è pari a $$ 808017424794512875886459904961710757005754368000000000.$$ Come stimolante lettura divulgativa sulla storia dei gruppi sporadici e dei loro scopritori il lettore può consultare [2].

La dimostrazione completa del Teorema di Classificazione dei gruppi semplici finiti richiede diverse migliaia di pagine, ed è basata sui numerosi articoli scritti nel corso di circa 100 anni da matematici come Mathieu, Janko, Conway, Fisher, Higma, Suzuki, Feit, Thompson, Griess, Aschbacher, Gorenstein, etc.

A partire dal 1985, gli sforzi dei teorici dei gruppi sono concentrati sulla cosiddetta "Dimostrazione di seconda generazione", che si propone di semplificare gli argomenti, eliminando ogni ridondanza ed usando tecniche più moderne e generali che permettano di trattare vari casi contemporaneamente.

Alcune parti della dimostrazione sono state anche verificate al computer tramite il linguaggio Coq; un esempio è il fondamentale e difficile teorema di Feit-Thompson ("Ogni gruppo finito di ordine dispari è risolubile"), verificato da G. Gonthier e i suoi collaboratori nel 2013, vedi [3].

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups
[2] M. Ronan: Il mostro e la simmetria, Cortina Editore 2007.
[3]
G. Gonthier et al.: A Machine-Checked Proof of the Odd Order Theorem, Lecture Notes in Computer Sciences 7998 (2013), https://doi.org/10.1007/978-3-642-39634-2_14.
[4] O Holder: Die einfachen Gruppen in ersten und Zweiten Hundert der Ordnungszahlen, Mathematische Annalen 40 (1892), 55-88.

16 agosto 2018

"A Doubter's Almanac" di Ethan Canin

Per una curiosa coincidenza, nei torridi giorni di agosto in cui tutte le reti sociali celebravano la meritata medaglia Fields di Alessio Figalli, ero intento a leggere questo lo strano romanzo "A doubter's almanac'' di Ethan Canin, scoperto grazie ad una recensione sui Notices AMS.

Il protagonista è Milo Andret, un giovane scontroso ed introverso che trascorre una solitaria infanzia nei boschi del Michigan settentrionale, e che è dotato di un singolare talento matematico che lo porta ad essere ammesso al prestigioso programma dottorale dell'Università di Berkley.

Nella sua tesi di dottorato Andret risolve l'immaginaria Congettura di Malosz, un difficilissimo problema topologico che eludeva gli sforzi dei matematici da decenni, e grazie a questo exploit ottiene una cattedra a Princeton, la medaglia Fields e la fama mondiale.

Spinto da un'ambizione e un egoismo pari solo al suo talento, Andret si rimette subito all'opera attaccando la (anch'essa immaginaria) Congettura di Abendroth, un problema di Topologia Algebrica ritenuto difficile quanto l'Ipotesi di Riemann. Lavorando senza sosta giorno e notte, e sostenuto solo da forti dosi di bourbon e sesso, Milo arriva vicinissimo alla meta, ma viene battuto in extremis da un giovane matematico di Palo Alto, che pubblica una soluzione prima di lui.

Questa débâcle segna di fatto la fine della carriera di Andret, che non sarà mai più matematicamente produttivo, e finirà per essere consumato dalle sue ossessioni, circondato da una famiglia disfunzionale i cui membri hanno ereditato sia il suo genio che la sua instabilità mentale.

L'autore del romanzo non è un matematico, ma ha ricevuto un dottorato in medicina ad Harvard, e la cosa si vede da alcune piccole imprecisioni tecniche che tuttavia non guastano la godibilità e l'eleganza della scrittura.
Più che la matematica in sè, comunque, il tema del libro è il rapporto fra genio e auto-distruzione, ambizione e ossessione, amore e tormento. Nulla di veramente originale, in verità, ma forse a qualcuno sarà capitato almeno una volta di pensare "Sarei disposto a distruggere la mia vita e quella di chi mi ama, in cambio della medaglia Fields?"