17 maggio 2020

L'in-ellisse di Steiner e il Teorema di Marden

Si consideri un qualsiasi triangolo $ABC$; il seguente semplice ed elegante risultato è dovuto a Jacob Steiner (1796-1863): 

Teorema. Esiste un'unica ellisse $E$ inscritta in $ABC$ e tangente ai lati nei loro punti medi. Inoltre, il centro di $E$ coincide con il baricentro del triangolo.

L'ellisse $E$ è oggi nota come in-ellisse di Steiner. La dimostrazione mostra la potenza delle tecniche basate sulle trasformazioni geometriche. Tramite un'affinità, si trasformi $ABC$ in un triangolo equilatero $A'B'C'$. Siccome ogni affinità manda triangoli in triangoli, baricentri in baricentri, ellissi in ellissi e tangenti in tangenti, è sufficiente dimostrare il teorema per $A'B'C'$, nel qual caso è banale: in un triangolo equilatero, l'in-ellisse di Steiner è l'unica circonferenza inscritta.

Vi è un sorprendente legame fra l'in-ellisse di Steiner e l'analisi complessa, noto come Teorema di Marden. Si consideri un polinomio di una variabile complessa e grado $3$, ossia $p(z)=az^3+bz^2+cz+d$, avente tre radici $A, \, B, \,C$ distinte e  non collineari nel piano complesso $\mathbb{C}$. Per il Teorema di Gauss-Lucas, i due zeri della derivata $p'(z)$ si trovano nell'inviluppo convesso delle radici, che è il trangolo di vertici  $A, \,B, \,C$. Possiamo ora enunciare il

Teorema (di Marden). Gli zeri della derivata di $p'(z)$ sono i fuochi dell'in-ellisse di Steiner del triangolo $ABC$. Inoltre, l'unica radice di $p''(z)$ è il centro di tale ellisse.

Esistono generalizzazioni del Teorema di Marden a polinomi di grado superiore a $3$; il lettore può consultare la corrispondente pagina Wikipedia per ulteriori dettagli.


Un triangolo e la sua in-ellisse di Steiner (fonte: Wikipedia). Nel Teorema di Marden, le radici di $p(z)$ sono i vertici del triangolo (in nero), e quelle di $p'(z)$ sono i fuochi dell'ellisse (in rosso).  La radice di $p''(z)$ è il centro dell'ellisse (il punto medio del segmento con estremi i fuochi, in verde).

13 maggio 2020

La clef des songes

Stamattina mia figlia di sei anni trotterellava per casa portandosi appresso un giocattolo che riproduceva la chiave di accensione di una automobile, con il telecomando per aprire le portiere e tutto il resto. Incuriosito, mi sono avvicinato:

"Giochi a fare il pilota di Formula 1?"
"Ma no, papà, questa è la chiave dei sogni.
"Ah, vedi, come Grothendieck."
"Eh?"
"No, niente..."

La clef des songes - ou Dialogue avec le Bon Dieu è un manoscritto di 315 pagine, scritto nel 1987, nel quale Alexander Grothendieck, da molti considerato il più grande matematico del ventesimo secolo, analizza il significato dei suoi sogni, deducendo da essi l'esistenza di Dio. Si tratta di un testo importante anche dal punto di vista storico, in quanto contiene molti riferimenti autobiografici, in particolare riguardo l'infanzia di Grothendieck e il suo periodo di internamento con la madre in un campo di concentramento durante la Seconda Guerra Mondiale.

Alcuni di coloro che hanno letto l'opera la ritengono frutto di una mente disturbata; altri (ad esempio, Laurent Lafforgue) la considerano invece un libro profondamente visionario e spirituale, in anticipo rispetto ai suoi tempi.  Qualunque sia la verità, è sicuro che durante gli ultimi anni della sua vita Grothendieck si avvicinò a forme ascetiche di misticismo cristiano, mantenendo anche in questo lo stesso atteggiamento puro e incompromissorio che aveva caratterizzato tutta la sua carriera professionale.

29 aprile 2020

Point of view

When they have trouble understanding a theorem, ordinary mathematicians ask: "What's an example of this?"
Category theorists ask: "What's this an example of?"

- John Carlos Baez -

19 aprile 2020

Il Teorema di Pick

Uno dei tipici esercizi di geometria assegnati alla scuola elementare o media è calcolare l'area di un poligono i cui vertici si trovano su una griglia regolare. Il procedimento che si adotta  in genere è quello di suddividere il poligono dato in figure geometriche più semplici (triangoli, rettangoli, trapezi) e sommare le rispettive aree.

Potete stupire i vostri figli, amici o insegnanti calcolando l'area con un metodo differente, che si basa su un semplice  e stranamente poco noto risultato di teoria dei reticoli piani, il cosiddetto
Teorema di Pick. Si consideri un poligono piano semplice non intrecciato $P$, i cui vertici giacciano su una griglia regolare formata da quadrati di lato unitario. Allora la sua area è data da $$A(P)=i+\frac{b}{2}-1,$$ dove $i$ è il numero di punti della griglia interni al poligono e $b$ il numero di punti della griglia sul suo bordo, vertici compresi.
Nella figura sottostante si ha un esempio di applicazione: il poligono disegnato ha $i=7, b=8$, da cui $A=10$.

Fonte: Wikipedia

12 aprile 2020

John Horton Conway (1937-2020)

A causa dell'infezione da Covid-19, ieri è venuto a mancare a Princeton John H. Conway, uno dei matematici più creativi ed eclettici del ventesimo secolo.

Impossibile riassumere in poche righe tutti i suoi contributi alla nostra disciplina. Solo a titolo di esempio, si devono a lui i Numeri Surreali, i gruppi semplici sporadici che portano il suo nome, il Game of Life (a cui molti fanno risalire l'origine della teoria degli Automi Cellulari), la Monstrous Moonshine Conjecture in Teoria dei Numeri, il Free Will Theorem in Meccanica Quantistica e tanto altro. 

Voglio qui ricordarlo con un video, preso dal profilo Twitter di Robin Houston, che riflette il modo scanzonato e giocoso con cui Conway si approcciava alla Matematica, e nel quale fa qualcosa che tutti (io per primo) avrebbero reputato impossibile: annodare una corda senza lasciarne gli estremi.



21 marzo 2020

Il ragno e la mosca

Un classico rompicapo di Henry Dudeney (1903) per far passare un po' il tempo in questi giorni di reclusione forzata. Lo enunciamo nella versione originale, con le misure in piedi (1 piede = 0,3048 metri), vedi [1], [2].

Abbiamo una stanza a forma di parallelepipedo, le cui misure (in piedi) sono $30 \times 12 \times12$. Un ragno (A) si trova a metà di una delle facce $12 \times 12$, a un piede dal soffitto. Una mosca (B) si trova a metà della faccia opposta, ad un piede dal pavimento.


Supponendo che la mosca resti ferma, qual è la lunghezza del minimo tragitto che il ragno deve compiere sulle pareti della stanza (soffitto e pavimento eventualmente compresi) per raggiungerla?


Il problema di Dudeney rientra in quella categoria di rompicapo che sembrano a prima vista difficilissimi da risolvere, per poi diventare sostanzialmente elementari nel momento in cui li si guarda dalla giusta prospettiva.

L'idea è quella di considerare tutti i possibili sviluppi piani del parallelepipedo. Allora il percorso minimo è la minima lunghezza di un percorso lineare fra (A) e (B).  Nel caso specifico, si verifica facilmente che la distanza minima è di $40$ piedi, come mostrato nell'immagine sottostante. Sorprendentemente, il percorso minimo tocca ben cinque delle sei facce del parallelepipedo.


L'immagine è tratta dall'interessante articolo [3], che generalizza il problema ad arbitrarie posizioni di mosca e ragno sulle facce opposte, nel caso particolare in cui il parallelepipedo sia un cubo.

Riferimenti.

[1] https://mathworld.wolfram.com/SpiderandFlyProblem.html
[3] R. Goldstone, R. Roca, R. Suzzi Valli: Shortest paths on cubes,
https://arxiv.org/pdf/2003.06096

14 marzo 2020

Matematici in pillole: i fratelli Chudnowsky

I fratelli David Volfovich Chudnovsky (1947) and Gregory Volfovich Chudnovsky (1952) sono due matematici sovietici naturalizzati americani, famosi per essere stati i primi (1989) a calcolare $\pi$ con un miliardo di cifre decimali esatte [1].

Il metodo usato si basa su una variante rapidamente convergente della serie ipergeometrica di Ramanujan, che oggi porta il loro nome [2]: $$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (545140134k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 \left(640320\right)^{3k + 3/2}}.$$ Due anni dopo, nel 1991, essi infransero la barriera dei due miliardi di cifre decimali esatte, utilizzando un supercomputer costruito con componenti ordinati via posta e assemblato nel loro appartamento di Manhattan.

Gregory soffre sin da giovane di myasthenia gravis, ed è assistito nelle incombenze della vita quotidiana dal fratello David [3].

Riferimenti.

[1] 
https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_brothers
[2] 
https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm
[3] 
The mountains of $\pi$, The New Yorker, March 1992.

04 marzo 2020

Matematici in pillole - Tullio Levi Civita

Il calcolo tensoriale, chiamato all'inizio calcolo differenziale assoluto, venne introdotto dai due matematici italiani Tullio Levi Civita (1873-1941) e Gregorio Ricci Curbastro (1853-1925) nel loro fondamentale lavoro Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Mathematische Annalen 54, 1900).

Come è ben noto, esso è alla base della Teoria della Relatività Generale, sviluppata da Albert Einstein nel periodo 1905-1916.

L'ammirazione di Einstein per Levi-Civita era sconfinata. Un giorno, interrogato su cosa gli piacesse di più dell'Italia, il fisico tedesco rispose: "Gli spaghetti e Levi-Civita".

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Tullio_Levi-Civita