08 settembre 2019

La congettura di Pólya

Considerato l’insieme $M(n)$ dei numeri naturali minori o uguali a $n$, possiamo considerare la sua partizione formata dai due sottoinsiemi $O(n)$ e $E(n)$, dove $O(n)$ sono gli elementi di $M(n)$ aventi un numero dispari di fattori primi (contati con molteplicità) e $E(n)$  sono quelli aventi un numero pari di fattori primi.

Nel 1919, il matematico ungherese G. Pólya congetturò [1] che $O(n)$ è sempre più numeroso di $E(n)$, ossia che “più della metà” dei numeri naturali possiede un numero dispari di fattori primi distinti. Questa divenne nota come congettura di Pólya [2].

In termini tecnici, la congettura di Polya si può esprimere come $$L(n) = |E(n)|-|O(n)|= \sum_{k=1}^n \lambda(k)  \leq 0,$$ dove $\lambda(k)$  è la funzione di Liouville, che vale $1$ se $k$ ha un numero pari di fattori primi (sempre contati con molteplicità) e $-1$ altrimenti.

La congettura di Pólya è verificata fino a valori di $n$ superiori a $900$ milioni.  Tuttavia, essa venne confutata da C. B. Haselgrove nel 1958 [3], e il primo controesempio esplicito ($n=906180359$, per il quale $L(n)=1$) venne esibito da R. S. Lehman nel 1960 [4]. Oggi si sa che il più piccolo controesempio è $n = 906150257$, come dimostrato da M. Tanaka nel 1980 [5].

Questo è un tipico esempio che mostra come la mera evidenza numerica di un dato risultato aritmetico, anche per numeri che ci sembrano piuttosto grandi, implica ben poco riguardo la sua validità generale.

I primi valori di $n$ per i quali $L(n)=0$ sono $$n=2, \, 4, \, 6, \, 10, \,16, \, 26, \, 40, \, 96, \, 586, \, 906150256, \ldots$$
vedi la successione OEIS A028488. Recentemente, è stato dimostrato che la funzione $L(n)$ cambia segno infinite volte, vedi [6] e [7].


G. Pólya (circa 1973, fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[1] G. Pólya: Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie, Jahresber. deutschen Math.-Verein. 28 (1919), 31-40.
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3lya_conjecture
[3] C. B. Haselgrove: A Disproof of a Conjecture of Pólya, Mathematika (1958), 141-145.
[4] R. S. Lehman: On Liouville's Function,  Math. Comput. 14 (1960), 311-320.
[5] M. Tanaka: A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville FunctionTokyo J. Math. (1980), 187-189.
[6] P. Borwein, R. Ferguson, M. J. Mossinghoff: Sign Changes in Sums of the Liouville Function, Mathematics of Computation 77 (2008), no. 263, 1681–1694.
[7] P. Humphries: The distribution of weighted sums of the Liouville function and Pólya’s conjecture, Journal of Number Theory 133 (2013), 545–582.

18 agosto 2019

Occhi azzurri e occhi neri

Non sono un grande fan degli indovinelli logici, ma ogni tanto ne incontro qualcuno che stuzzica la mia curiosità.

In particolare, sono attratto da quelli nei quali vengono proposte due soluzioni, entrambe
apparentemente senza errori, che portano a conclusioni opposte. Trovare la fallacia in una di esse (o in entrambe) permette di analizzare in modo più approfondito alcuni modi di ragionare, la cui correttezza diamo in genere per scontata, e può fornire interessanti riflessioni di tipo epistemologico.

Uno di questo tipo nel quale mi sono imbattuto di recente è il seguente, del quale esistono diverse varianti e che chiamerò qui “Occhi azzurri e occhi neri”.

In una lontana isola vive una popolazione di 200 persone, 100 con gli occhi azzurri e 100 con gli occhi neri. Parlare del colore degli occhi è tabù nell’isola, per cui ognuno conosce il colore degli occhi dei restanti 199 abitanti, ma non quello dei suoi.  In più, se per qualche motivo uno scopre il colore dei propri occhi, la religione dell’isola (che tutti seguono alla lettera) lo costringe a commettere suicidio rituale a mezzogiorno del giorno dopo. Infine, tutti gli abitanti dell’isola sono estremamente logici, nel senso che ogni conclusione che può essere tratta logicamente da alcune premesse diventa immediatamente e automaticamente patrimonio della collettività.  Un giorno, un forestiero con gli occhi azzurri arriva sull’isola e vi resta qualche tempo. Andando via, pronuncia un discorso di ringraziamento di fronte all’intera tribù e, dimenticando il tabù che vi regna, esclama “Che strano vedere qui qualcuno con gli occhi azzurri come me!”

Questa gaffe del forestiero ha conseguenze? Se si, quali?
Soluzione 1. La gaffe non ha nessuna conseguenza. Infatti, ciascuno dei 200 abitanti poteva già vedere intorno a sé persone con gli occhi azzurri (100 o 99, a seconda del colore dei suoi occhi), dunque la frase pronunciata dallo straniero non aggiunge nulla al patrimonio di conoscenza di ciascuno.
 Soluzione 2. 100 giorni dopo la gaffe, tutti gli isolani con gli occhi azzurri commettono  suicidio rituale. Il ragionamento è il seguente. Passo 1. Se vi fosse un solo isolano con gli occhi azzurri, egli vedrebbe intorno a lui solo isolani con gli occhi neri. Dunque la gaffe del forestiero gli farebbe capire immediatamente il colore dei suoi occhi, e il giorno dopo si dovrebbe suicidare. Passo 2. Immaginiamo vi siano esattamente due isolani con gli occhi azzurri, diciamo X e Y. Allora X pensa: se io non ho gli occhi azzurri, segue subito che Y è l’unico con gli occhi azzurri, dunque domani commetterà suicidio (vedi Passo 1). Ovviamente, Y ragiona in modo analogo. Visto che il giorno dopo nessuno si suicida, sia X che Y capiscono di avere gli occhi azzurri, e il giorno dopo ancora si uccidono entrambi.Per induzione, si arriva al Passo 100, cioè alla conclusione che tutti i 100 isolani con gli occhi azzurri si suicideranno dopo 100 giorni (osserviamo che, se per qualche motivo fosse noto a priori che esistono solo due colori di occhi, allora i restanti 100 isolani si suiciderebbero tutti il giorno dopo ancora, ma questo non è rilevante in questa sede).

La soluzione corretta al rompicapo è la Soluzione 2: per quanto apparentemente insignificante, la gaffe dello straniero contiene in realtà una quantità di informazione aggiuntiva sufficiente ad innescare il processo logico-deduttivo che porta, dopo 100 giorni, al suicidio di massa degli isolani con gli occhi azzurri.

La nozione tecnica rilevante qui è quella di “common knowledge” [1]: per determinare il comportamento degli isolani non è importante solo ciò che il singolo individuo conosce degli altri isolani, ma anche ciò che ogni individuo conosce rispetto alla conoscenza altrui.

Siccome che la popolazione sia formata da 200 individui non è ovviamente essenziale, supponiamo in generale che sull’isola vi siano $2n$ persone, $n$ con gli occhi azzurri e $n$ con gli occhi neri. Al giorno $0$, fino al momento immediatamente precedente la gaffe dello straniero, la common knowledge è

$(1)$ ogni isolano sa che vi sono almeno $n-1$ isolani con gli occhi azzurri.

Questa è una situazione di equilibrio, che può durare per sempre dato che, ragionando logicamente a partire da $(1)$, nessuno ha modo di conoscere il colore dei propri occhi.

Subito dopo la gaffe dello straniero, la common knowledge risulta modificata in modo radicale, tanto che tutti gli individui con gli occhi azzurri si suicidano insieme dopo n giorni.

Per comprendere come la gaffe dello straniero modifica la common knowledge, consideriamo il toy model con $n=2$, cioè $2+2$ isolani, e supponiamo che quelli con gli occhi azzurri si chiamino $X$ e $Y$.

Prima del discorso del forestiero, $X$ sa che esistono sull’isola persone con gli occhi azzurri (per via di $(1)$) ma non sa che anche $Y$ lo sa. Analogamente, $Y$ sa che esistono sull’isola persone con gli occhi azzurri, ma non sa che anche $X$ lo sa.

Immediatamente dopo la gaffe del forestiero, la common knowledge di $X$ e $Y$ risulta invece la seguente:

$(1)$ entrambi $X$ e $Y$ sanno che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri
$(2)$ $X$ sa che $Y$ sa che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri, e viceversa.

La modifica della common knowledge data da $(2)$ agisce come detonatore, innescando l’induzione e dunque il suicidio di $X$ e $Y$ dopo 2 giorni.

È importante osservare che $(2)$ non sarebbe possibile senza la gaffe dello straniero, e che è fondamentale che il discorso dello straniero sia pubblico: infatti, se lo straniero si limitasse a pronunciare la sua frase nell’orecchio di ciascun isolano dopo averlo preso in disparte, non accadrebbe nulla, dato che in tal caso non vi sarebbe alcuna variazione nella "conoscenza della conoscenza".

Il caso con $n ≥ 3$ isolani si tratta induttivamente nello stesso modo, con variazioni della common knowledge del tipo “$X$ sa che $Y$ sa che $Z$ sa che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri” e via discorrendo.

Questo interessante e sottile rompicapo è stato analizzato molte volte, dato che si presta a differenti interpretazioni di tipo sia logico che epistemologico. La medaglia Fields T. Tao vi ha dedicato un post [2] nel suo famoso blog, e ulteriori stimolanti discussioni si possono trovare nei thread [3] e [4].


Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Common_knowledge
[2] https://terrytao.wordpress.com/…/the-blue-eyed-islanders-p…/
[3] https://puzzling.stackexchange.com/…/in-the-100-blue-eyes-p…
[4] https://math.stackexchange.com/…/100-blue-eyed-isla…/490546…

09 agosto 2019

Aeroplani abeliani

Aeroporto di Lisbona: un celebre ritratto di Niels Henrik Abel (1802-1829) sulla coda di un aereo della Norwegian Airlines.


31 luglio 2019

Strade portoghesi

Passeggiare per le strade di Coimbra, sede di una delle più antiche università d'Europa, può riservare piacevoli sorprese.

20 luglio 2019

Lezioni perfette danno risultati perfetti?

Siamo ormai a fine luglio, e chi a settembre insegnerà per la prima volta un nuovo corso
(come nel mio caso) comincia a pensare a che libri di testo adottare e a come strutturare
le lezioni.

Personalmente, ho sempre cercato di adottare un approccio abbastanza rigoroso e lineare alla materia: esempi elementari per motivare le definizioni, lemmi, proposizioni, teoremi, dimostrazioni complete, altri esempi più sofisticati, controesempi che mostrino l'importanza delle ipotesi. E infine, ovviamente, esercizi  da svolgere a casa per consolidare le nozioni apprese in classe.

Probabilmente, cerco di riprodurre in aula il tipo di lezione che piace a me.

In un certo senso, quindi, anch'io tendo a svolgere una sorta di "lezione perfetta", in cui tutti i pezzi si incastrino alla perfezione e che lasci gli studenti sorpresi ed entusiasti, come dopo un bel film. Una lezione nella quale nulla sia lasciato al caso, ogni cosa sia spiegata per filo e per segno,
e che magari si concluda con un bel risultato inaspettato ottenuto come corollario della teoria generale, una specie di colpo di scena finale alla Black Mirror (uno dei miei esempi preferiti è il Teorema di Perron-Frobenius  ricavato come conseguenza del teorema del Punto Fisso di Brouwer).

Tuttavia, a volte mi chiedo se questo sia l'unico approccio possibile, o perfino se sia davvero quello che fornisca i migliori risultati in termini di apprendimento.  In alcuni momenti ho l'impressione che la "lezione perfetta" nel senso di cui sopra sia uno show del docente, e che gli studenti siano dopotutto soggetti passivi ai quali si fornisce del materiale perfettamente pre-digerito, la cui assimilazione è dunque (relativamente) facile ma che, nel lungo periodo, dà loro poche competenze in ambito di problem-solving, per usare una espressione di cui oggi forse si abusa.

E infatti, almeno per quanto riguarda la mia esperienza personale, la parte che gli studenti trovano più difficile non è studiare la teoria, che magari conoscono per filo e per segno, ma svolgere gli esercizi. Forse lezioni troppo chiare e dettagliate li disabituano allo sforzo necessario per comprendere un enunciato e provare a dimostrarlo in autonomia?

Quando ero studente, c'erano docenti che si vantavano addirittura di compiere appositamente degli errori durante la lezione, in modo da testare il senso critico dell'uditorio, costringerlo ad un'attenzione costante ed evitare l'effetto "pappa pronta". Questo tipo di provocazioni mi ha sempre lasciato diffidente, sia perché non mi piace scrivere  enunciati o dimostrazioni sbagliati, neanche per di una buona causa, sia perché dopotutto ritengo di essere pagato per insegnare, non per svolgere esperimenti sociali in aula.

Mi domando però se metodi alternativi alla lezione frontale, tipo le "flipped classroom" che oggi vanno tanto di moda in alcune scuole superiori, possano aiutare in tal senso, e se sia davvero possibile implementarli con successo in un corso universitario di Matematica.

Alla fine,  lezioni perfette danno davvero risultati perfetti, o bisognerebbe cominciare ad approcciarsi alla didattica (anche) in modo diverso?

21 giugno 2019

Campi finiti e somma di quadrati

Una conseguenza del noto teorema di Fermat è che un numero intero può essere rappresentato come somma di due quadrati se e solo se esso è non negativo e non contiene nella sua fattorizzazione alcun primo congruente a $3$ modulo $4$ elevato ad una potenza dispari [1].

Viene dunque naturale chiedersi cosa accade su altri anelli commutativi: ad esempio, su $\mathbb{R}$ un elemento è somma di quadrati se e solo se è non negativo.

Un caso particolarmente interessante è quello dei campi finiti $\mathbb{F}_q$, dove $q$ è la potenza di un primo. In tal caso si ha infatti a disposizione il seguente importante risultato, vedi [2, Chapter I, Corollary 2]:
Teorema 1 (Chevalley). Ogni forma quadratica in tre variabili su un campo finito $\mathbb{F}_q$ ha almeno uno zero non banale. 
In termini geometrici, ciò può esprimersi dicendo che ogni conica proiettiva su $\mathbb{F}_q$ ha un punto razionale (cioè, un punto a coordinate nel campo di definizione) e quindi, tramite proiezione stereografica da tale punto, essa è isomorfa alla retta proiettiva su $\mathbb{F}_q$.

Si noti che vi sono campi infiniti in cui esistono coniche proiettive senza alcun punto razionale; ad esempio la conica $X^2+Y^2 -3Z^2=0$ non ha punti definiti su $\mathbb{Q}$: ciò segue dal fatto che l’equazione diofantea deomogeneizzata $x^2+y^2-3=0$ non ha soluzioni in numeri razionali, vedi ad esempio [3].

Come corollario del Teorema di Chevalley, otteniamo un sorprendente risultato sulla rappresentabilità di ogni elemento di $\mathbb{F}_q$ come somma di quadrati. Nel seguito, diremo che una forma quadratica $Q$ su un $\mathbb{F}_q$-spazio vettoriale $V$ “rappresenta $a \in \mathbb{F}_q$” se esiste un vettore non nullo $v \in V$ tale che $Q(v)=a$.
Teorema 2. Ogni elemento del campo finito $\mathbb{F}_q$ si esprime come somma di due quadrati in $\mathbb{F}_q$.
Dimostrazione. Fissato $a \in \mathbb{F}_q$, si consideri la forma quadratica $X^2+Y^2-aZ^2$. Per il Teorema di Chevalley, essa ha uno zero non banale $(X_0, \, Y_0, \, Z_0)$.

Se $Z_0=0$, allora $Q(X, \, Y)=X^2+Y^2$ ha uno zero non banale $(X_0, \, Y_0)$ e, per risultati generali sulle forme quadratiche che ammettono vettori isotropi non nulli, segue che $Q$ rappresenta ogni elemento di $\mathbb{F}_q$, vedi [2, Chapter IV, Corollary to Proposition 3]. In particolare, essa rappresenta $a$ e  abbiamo finito. Se invece $Z_0 \neq 0$ allora, posto $u=X_0/Z_0$ e $v=Y_0/Z_0$, otteniamo $u^2+v^2=a$ e possiamo di nuovo concludere.
                                                                                                                                                 $\Box$

È interessante notare che è possibile dare una semplice dimostrazione del Teorema 2 che non dipende dal Teorema 1, e che sfrutta invece il seguente argomento combinatorio. 

Se $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)=2$, allora $x^2+y^2=(x+y)^2$, dunque $a$ è somma di quadrati in $\mathbb{F}_2$ se e solo se è esso stesso un quadrato, e ciò è sempre vero dato che in caratteristica $2$ la mappa $x \mapsto x^2$ è l’endomorfismo di Frobenius, che è suriettivo.

Supponiamo allora $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)$ dispari, nel qual caso i quadrati non-nulli di $\mathbb{F}_q$ formano un sottogruppo di indice $2$ del gruppo moltiplicativo $(\mathbb{F}_q)^*$, più precisamente essi sono il nucleo dell'omomorfismo $x \mapsto x^{(q-1)/2}$, che assume valori in $\{1, \, -1\}$, vedi [2, Chapter I, Thm. 4].

Pertanto, il sottoinsieme $S$ di tutti i quadrati di $\mathbb{F}_q$ consiste di $(q+1)/2$ elementi e, quindi, lo stesso vale per il suo traslato $a-S$. Siccome $\mathbb{F}_q$ possiede $q$ elementi, per il principio dei cassetti deve esistere uno di essi contenuto nell’intersezione $S \cap (a-S)$, cioè esistono $x, \, y \in \mathbb{F}_q$ tali che $x^2=a-y^2$, come volevamo.

Il riferimento bibliografico [2] è un grande classico, una lettura obbligata per chiunque sia interessato alla Teoria dei Numeri. Lo stile di J. P. Serre è, come sempre, preciso, conciso, dritto al punto: niente fronzoli, solo splendida Matematica. 

Il titolo originale "Cours d'Arithmétique" viene dal fatto che, in francese, "Arithmétique" vuol dire sia "Aritmetica Elementare" che "Teoria dei Numeri", il che a volte è fonte di equivoci.  Parecchi anni fa ero in metropolitana a Parigi e per qualche motivo lo stavo consultando, quando, ad un certo punto, una vecchina seduta di fianco a me indicò la copertina e, guardandomi fisso, mi disse "C'est très bien que, meme à votre âge, vous souhaitiez apprendre les choses de base!".

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_two_squares_theorem
[2] J. P. Serre: A course in Arithmetic, GTM 7, Springer 1973
[3] https://math.stackexchange.com/questions/2483195/proof-that-x2-y2-3-has-no-rational-solutions

04 giugno 2019

Terne pitagoriche monocromatiche e meccanizzazione della Matematica

Un famoso problema, posto da R. Graham, chiedeva se sia possibile colorare gli interi positivi con due colori (ad esempio, rosso e blu), in modo tale che non esista alcuna terna pitagorica monocromatica, cioè, nessuna tripla $a, \,b, \, c$ di interi dello stesso colore e tali che $a^2+b^2=c^2$.

Nel 2016, la questione venne risolta in senso negativo da tre informatici, M. Heule, O. Pullman e V. Marek, i quali dimostrarono il seguente risultato [HPM16]:
Teorema. Esiste una bi-colorazione di $\{1, \ldots, 7824\}$ che non contiene nessuna terna pitagorica monocromatica. Invece, non esiste nessuna tale bi-colorazione per $\{1, \ldots, 7825\}$.
La dimostrazione di questo enunciato è stata ottenuta utilizzando in modo essenziale il calcolatore. Più precisamente, i tre autori hanno costruito, per ogni $n$, una formula preposizionale che descrive una bi-colorazione di $\{1, \ldots, n\}$ senza terne pitagoriche monocromatiche. Successivamente, hanno implementato questa formula in un software specificamente progettato per la Logica Matematica (‘’SAT solver’’), cercando soluzioni per specifici valori di $n$.

Per $n=7824$ la ricerca è stata coronata da successo, e il software ha fornito una bi-colorazione esplicita che risolve il problema. Per $n=7825$, invece, nessuna tale colorazione è stata trovata.

Ovviamente, nel caso “negativo”, è rischioso accettare il responso del computer come una dimostrazione rigorosa della non-esistenza di una soluzione. Infatti, bisogna innanzitutto essere sicuri che l’algoritmo sia corretto ed esaustivo e che la macchina funzioni perfettamente; inoltre, molti matematici non sono pronti a considerare come soddisfacente una dimostrazione di impossibilità che non possa essere verificata “a mano’’ (si ricordi il famoso caso del Teorema dei Quattro Colori).

Heule, Pullman e Marek hanno dunque deciso di codificare la dimostrazione per mezzo di un procedimento di “validazione formale del risultato”, che ha prodotto un certificato di 68 gigabyte, che che è stato reso pubblicamente disponibile e contiene abbastanza informazioni per permettere a chiunque (almeno in linea di principio) di riprodurre la dimostrazione.

Questo esempio mostra che siamo arrivati ad un punto nel quale le dimostrazioni “computer assisted” cominciano a diventare essenziali in Matematica, facendoci riconsiderare (almeno in alcuni casi) il nostro concetto di “dimostrazione rigorosa”. Tutto ciò apre scenari affascinanti, e per certi versi inquietanti, sulla “meccanizzazione della Matematica”, che sarebbe troppo lungo considerare qui; il lettore interessato può leggere ad esempio [Av18].

Riferimenti.

[HPM16] M. Heule, O. Pullman e V. Marek: Solving and verifying the Boolean Pythagorean Triples via Cube-an-Conquerer, arXiv:1605.00723.
[AV18] J. Avigad: The Mechanization of Mathematics, Notices AMS 65, number 6 (2018).

13 maggio 2019

Le due culture in Matematica

"I was thinking more of the tendency today for people
to develop whole areas of mathematics on their own,
in a rather abstract fashion. They just go on beavering
away. If you ask what is it all for, what is its signifi-
cance, what does it connect with, you find that they
don't know.
"
M. F. Atiyah [1]

Ai matematici capita spesso di lamentarsi del fatto che la Matematica (a differenza della Poesia, della Letteratura o della Filosofia) non sia ancora vista come una parte indispensabile del patrimonio culturale collettivo. Dopotutto, quante volte abbiamo incontrato persone, anche molto colte, affermare candidamente con un sorrisetto "eh, io di Matematica non ci capisco proprio nulla"? Eppure, nessuno avrebbe il coraggio di sostituire "Matematica" con "Shakespeare" senza il timore di apparire goffamente ignorante.

È quindi un po' paradossale che anche i matematici, all'interno della loro comunità, tendano a volte a replicare, più o meno inconsapevolmente, atteggiamenti di questo tipo. Capita, ad esempio, che i "theory builders" guardino con sufficienza i "problem solvers", e viceversa.

Non è raro che, dopo aver studiato per anni il formalismo fortemente astratto della Geometria Algebrica moderna (quello sviluppato da Grothendieck negli EGA, per intenderci), uno si senta autorizzato ad alzare il sopracciglio verso chi si dedica a "semplici" problemi di Combinatoria; allo stesso modo, chi si dedica alla Combinatoria può considerare il Geometra Algebrico à la Grothendieck come uno snob spocchioso che non è in grado neanche di sporcarsi le mani con un semplice problema di colorazione di un grafo.

Ovviamente, il discorso precedente è una iper-semplificazione, dato che molti matematici sviluppano teorie proprio allo scopo di risolvere problemi (il viceversa, tuttavia, è molto meno frequente). A volte però, come acutamente osservato da M. Atiyah nella citazione iniziale, la ricerca dell'astrazione viene fatta per sè, escludendo a priori qualsiasi tentativo di applicazione della teoria o di ibridazione fra le due "culture".

Il risultato è una mancanza di comunicazione all'interno della comunità che, se da una parte rallenta intrinsecamente la ricerca scientifica, dall'altra può avere implicazioni devastanti per la carriera delle persone: non è infrequente che un "theory builder" duro e puro si trovi in una commissione che deve giudicare un candidato "problem solver" o viceversa, con risultati immaginabili in fase di valutazione.

L'argomento è chiaramente troppo vasto per un semplice post; il lettore interessato può trovare una bella analisi nell'articolo di W. T. Gowers The two cultures in mathematics [2], che contiene anche una serie importante di esempi che mostrano come Matematica Discreta e Combinatoria, lungi dall'essere solo una vasta collezione di problemi individuali e di risultati sparsi, contengono al loro interno principi generali di vasta applicabilità, anche se la struttura soggiacente è meno esplicita che nel caso della Geometria Algebrica o dell'Analisi Funzionale.

Esempi illuminanti sono la dimostrazione di P. Erdős del Teorema di Ramsey per mezzo di una "colorazione random" (che, usando le parole di Gowers, "opened the floodgates of probabilistic arguments in combinatorics") e quella di V. Milman del Teorema di Dworesky  per mezzo di un argomento di tipo "concentrazione della misura" che, oltre a dare il via all'analisi geometrica asintotica negli spazi di Banach, si è rivelato fecondo in altre parti della Matematica come l'Analisi Armonica e la Teoria delle PDE.

L'articolo di Gowers termina con l'auspicio di una maggiore collaborazione fra i matematici appartenenti alle due "culture", pur osservando che "collaboration of this kind would require greater efforts on the part of problem-solvers to learn a bit of theory, and greater sympathy on the part of theoreticians towards mathematicians who do not know what cohomology is".

Magari ha senso concludere questo post come è iniziato, ovvero con una citazione di Atiyah [3]:
"... the ultimate justification for doing mathematics is intimately related with its overall unity. If we grant that, on purely utilitarian grounds, mathematics justifies itself by some of its applications, then the whole of mathematics acquires a rationale provided it remains a connected whole. Any part that drifts away from the main body of the field has then to justify itself in a more direct fashion".


Riferimenti.

[1] An interview with M. Atiyah, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 9-19
https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF03024202.pdf
[2] W. T. Gowers: The two cultures in Mathematics
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/2cultures.pdf
[3] M. F. Atiyah, Identifying progress in mathematics, ESF conference in Colmar, C.U.P. (1985), 24-41.

19 aprile 2019

La costante di Apéry

È ben noto che i valori della funzione zeta di Riemann calcolati negli interi positivi pari possono essere espressi in termini dei numeri di Bernoulli $B_n$, e più precisamente che vale l'identità
\begin{equation*}
 \zeta(2n) = (-1)^{n+1} B_{2n} \frac{(2 \pi) ^{2n}}{2 (2n)!}.
\end{equation*} Siccome i numeri di Bernoulli sono razionali, segue che i valori $\zeta(2n)$ sono multipli razionali di potenze di $\pi$, in particolare per $n \geq1$ sono tutti numeri trascendenti. I primi valori di $\zeta(2n)$ sono i seguenti:

$\zeta(0) = -1/2$
$\zeta(2) = \pi^2/6$ (un celebre risultato d Eulero noto come identità di Basilea)
$\zeta(4) = \pi^4/90$
$\zeta(6) = \pi^6/945$

e, in generale, gli interi $a_n, \, b_n$ che compaiono nell'identità
\begin{equation*}
a_n \zeta(2n) = b_n \pi^{2n}
\end{equation*} sono rispettivamente gli elementi delle successioni OEIS A002432 e A046988.

Per quanto riguarda i valori $\zeta(2n+1)$ della funzione zeta calcolata negli interi positivi dispari, si sa invece molto di meno. 

Il valore $\zeta(1)$ corrisponde alla somma della serie armonica $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots,$$ che è divergente, e infatti $\zeta(s)$ ha un polo in $s=1$.  

Il valore successivo $$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \ldots \simeq 1.20205 $$ è detto costante di Apéry, in onore del matematico francese R. Apéry che nel 1978 ne dimostrò l'irrazionalità [A79]. Dimostrazioni più semplici vennero in seguito proposte da F. Beuker [B79] e W. Zudilin [Z02]. Non è noto al momento se la costante di Apéry sia un numero trascendente. 

Il reciproco $1/\zeta(3) \simeq 0.831912 \ldots$ rappresenta la probabilità che tre numeri "scelti a caso" siano relativamente primi. Curiosamente, il valore $\zeta(3)$ compare anche in Elettrodinamica Quantistica, nel calcolo del momento angolare dell'elettrone.

Non è noto un analogo del Teorema di Apéry per altri valori del tipo $\zeta(2n+1)$, ma si hanno alcuni risultati parziali. Sappiamo ad esempio che infiniti tali valori sono irrazionali [R00], e che almeno uno fra $\zeta(5)$, $\zeta(7)$, $\zeta(9)$, $\zeta(11)$ deve essere irrazionale [Z01]

Riferimenti.

[A79] R. Apéry: Irrationalité de $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$, Astérisque 61: 11–13 (1979).
[B79] F. Beuker: A note on the irrationality of $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$, Bull. London Math. Soc. 11 (3) (1979), 268–272.
[Z02] W. Zudilin: An elementary proof of Apéry's theorem, arXiv:math/0202159 (2002).
[R00] T. Rivoal: La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 331 (4) (2000): 267–270.
[Z01] W. Zudilin: One of the numbers $\zeta(5), \, \zeta(7), \, \zeta(9), \, \zeta(11)$ must be irrational, Russ. Math. Surv., 56 (4) (2001), 774–776.

06 aprile 2019

La misura del mondo

Fra i romanzi che hanno fra i protagonisti un grande matematico, merita un posto a parte  "La misura del mondo" (il titolo originale è "Die Vermessung der Welt")  del giovane scrittore tedesco D. Kehlmann (1975). Pubblicato nel 2005 e diventato un immediato bestseller, ha fatto guadagnare al suo autore paragoni con Nabokov e Proust, per la complessità dell'intreccio e la sapiente e allo stesso tempo leggera descrizione dei personaggi.

A "misurare il mondo" sono due famosi scienziati tedeschi, il matematico C. F. Gauss e l'esploratore A. von Humboldt, accomunati da grandi affinità ma anche separati da profonde differenze. Ad un certo punto si incontreranno a Berlino per un congresso scientifico (con gioia di von Humboldt e fastidio di Gauss, che detesta viaggiare), e ciò finirà per segnare profondamente entrambi.

Gauss, nato in estrema povertà, mostra il suo immenso genio fin dall'infanzia, arrivando a scrivere le sue Disquisitiones Arithmeticae (che gli daranno fama imperitura) poco più che ventenne. Il "principe dei matematici" passa quasi tutta la sua vita a Gottinga, ossessionato dal ricordo della prima moglie Johanna morta di parto (che tuttavia aveva abbandonato nel letto nuziale per appuntare su un pezzo di carta la formula dei minimi quadrati) e amareggiato per l'ottusità e la lentezza di pensiero che riscontra negli altri individui, compresi la seconda moglie Minna e il figlio Eugene, trattati ai limiti del disprezzo. Nell'ultima parte della sua vita si appassiona al problema del magnetismo terrestre, anche per via degli scambi epistolari con il giovane fisico W. E. Weber, che proprio grazie a Gauss ottiene (appena ventisettenne) una cattedra a Gottinga.

Von Humboldt nasce invece nobile, e viene allevato con l'idea della futura grandezza sin dalla più tenera età. Ossessionato dall'idea di viaggiare, abbandona una promettente carriera diplomatica in Prussia e si lancia nell'esplorazione dell'Amazzonia, mappando il canale naturale fra l'Orenoco e il Rio delle Amazzoni, sfidando zanzare, rapide e cannibali, scalando vulcani, scoprendo miniere e ignorando completamente i rapporti con l'altro sesso. Nell'ultima parte della sua vita si entusiasma per un viaggio di esplorazione in Siberia organizzato per lui dallo Zar di Russia, ma il confronto con i viaggi compiuti da giovane, quando era in salute, libero e sconosciuto, si rivela impietoso.

Gauss vede poco con i suoi occhi, ma molto con la sua mente. Al contrario, von Humboldt non capisce una parola di Matematica, ma viaggia in lungo e in largo per ottenere in prima persona quante più informazioni possibili sul mondo reale.

Entrambi i personaggi sono sostanzialmente dei solitari, chiusi nella realtà che si sono costruiti e infastiditi dalla fama crescente che accompagna le loro scoperte. Nonostante le loro enormi differenze, di nascita come di carattere, sia Gauss che von Humboldt sono tormentati dalla medesima ossessione: ciascuno nel proprio ambito, acquisire un'enorme mole di conoscenza.

Copertina dell'edizione italiana (fonte: Amazon.it)