10 aprile 2021

Il gömböc

Da bambini, abbiamo tutti giocato con quei pupazzetti detti "misirizzi" che, quando vengono messi in posizione orizzontale, ritornano da soli in posizione verticale [1]. Tecnicamente, tale comportamento viene descritto dicendo che essi hanno una sola posizione di equilibrio stabile, corrispondente ad un unico minimo per l'energia potenziale gravitazionale. Ciò segue dal fatto che il giocattolo è praticamente vuoto, a parte un grosso peso situato nella parte inferiore. In altre parole, il comportamento del giocattolo è conseguenza della sua non-omogeneità.

Nel 1996, Vladimir Arnold congetturò che esistesse un solido dello spazio euclideo, convesso ed omogeneo, con la stessa proprietà, ossia con un unico punto di equilibrio stabile. La congettura di Arnold venne dimostrata nel 2006 dagli scienziati ungheresi Gábor Domokos and Péter Várkonyi, i quali provarono che esistono infiniti solidi di questo tipo, aventi forme molto diverse fra loro.

Essi chiamarono tali oggetti gömböc ("piccola sfera", in ungherese), dato che alcuni di essi hanno una forma molto prossima a quella sferica. Un gömböc si comporta esattamente come il misirizzi: in qualunque posizione lo si metta, comincia a muoversi e ad oscillare, fino a ritornare alla sua unica posizione di equilibrio stabile (si veda il video in [2]).

Modelli di gömböc sono oggi presenti nei musei della scienza di tutto il mondo. La foto nel post è una statua di gömböc, alta 4.5 metri, eretta nel 2017 nel quartiere Corvin a Budapest. Una discussione del gömböc  è anche presente nell'epilogo del best-seller di Cedric Villani  Il teorema vivente, nel quale l'autore narra della sua visita a Gábor Domokos durante un viaggio a Budapest.

Come spesso accade, sembra che (qualche tipo di) gömböc sia stato "scoperto" dalla selezione naturale prima che dall'uomo: infatti, i gusci delle tartarughe sono molto simili al nostro solido, e questo spiega la capacità di tali animali di ritornare autonomamente sulle zampe una volta capovolti, abilità indispensabile per sfuggire ai predatori.


Fonte: Wikipedia

Riferimenti.

08 aprile 2021

07 aprile 2021

Graffiti

Huge mathematical chalk graffiti appeared in 2013 at Boscombe (Dorset, UK). A local maths graduate commented "This is clearly a very advanced equation and I would like to have a go at cracking it."

Needless to say, the written text was meaningless.




Source: Daily Mail

03 aprile 2021

Oracles

Many physicists these days sound like the Delphic oracle - with equations.
- John Twelve Hawks, The Dark River -


Image credits:
 CERN

02 aprile 2021

Un teorema di punto fisso in $\mathbb{R}^n$

In un precedente post abbiamo trattato il Teorema del Punto Fisso di Brouwer, valido per la palla chiusa $\mathbb{D}^n \subset \mathbb{R}^n$. In questo post vogliamo invece trattare un teorema valido in $ \mathbb{R}^n$. Ovviamente, non è vero che ogni funzione continua da $ \mathbb{R}^n$ in sé ammette un punto fisso: si pensi ad una traslazione. Tuttavia, la cosa è vera per mappe continue di ordine finito.

La dimostrazione che andiamo ad illustrare fa uso di tecniche di Topologia Algebrica lievemente più sofisticate rispetto a quelle utilizzate per il Teorema di Brouwer; il lettore può trovare i dettagli nei riferimenti bibliografici elencati in fondo. Questo post è stato ispirato da un tweet di Daniel Litt (@littmath).
Teorema. Sia $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ una funzione continua di ordine finito, tale cioè che esista un numero naturale $h>1$ tale che $f^h=\operatorname{id}$. Allora $f$ ammette almeno un punto fisso.
Dimostrazione. Consideriamo la relazione d'equivalenza $\simeq$ su $\mathbb{R}^n$ generata da $x \simeq  f(x)$. Siccome $f$ ha ordine $h$, tale relazione è indotta da un'azione del gruppo ciclico finito $\mathbb{Z}_h$ su $\mathbb{R}^n$. Indichiamo con $X$ lo spazio topologico quoziente $X= \mathbb{R}^n/ \mathbb{Z}_h$ che, intuitivamente, si ottiene collassando ogni $f$-orbita ad un punto.

Supponiamo per assurdo che $f$ non abbia punti fissi. Allora la $\mathbb{Z}_h$-azione su $\mathbb{R}^n$ è libera, pertanto la mappa quoziente $p \colon \mathbb{R}^n \to X$ è un rivestimento topologico di grado $h$.

Siccome $\mathbb{R}^n$ è semplicemente connesso, segue che il rivestimento universale di $X$ è ancora $\mathbb{R}^n$, che è contraibile. Allora $X$ è un "aspherical space", anche noto come "spazio di Eilenberg–MacLane" di tipo $K(\mathbb{Z}_h, \, 1)$, in altre parole il suo gruppo fondamentale è $\mathbb{Z}_h$ e i gruppi di omotopia superiore sono nulli [1].

Dato un gruppo $G$, una importante proprietà di uno spazio $X$ di tipo $K(G, \, 1)$ è che, per ogni intero positivo $k$, si ha un isomorfismo $$H^k(X, \, \mathbb{Z}) = H^k(G, \, \mathbb{Z}),$$
dove a sinistra abbiamo la coomologia singolare e, nella coomologia di gruppo a destra, $\mathbb{Z}$ è dotato della struttura di $G$-modulo banale [2, Theorem 11.5 p. 136].

Quando $G$ è un gruppo finito, ad esempio nel nostro caso $G= \mathbb{Z}_h$, è noto che $G$ ha coomologia non nulla in grado arbitrariamente alto [3]. Pertanto, dall'isomorfismo visto sopra, si deduce che il gruppo di coomologia singolare $H^k(X, \, \mathbb{ℤ})$ è non nullo in grado arbitrariamente alto.

D'altra parte, il quoziente di una varietà topologica di dimensione $n$ per un gruppo finito che agisce liberamente è ancora una varietà topologica di dimensione $n$. Ma allora la coomologia singolare si annulla in grado superiore alla dimensione [4, Theorem 3.5], ossia $H^k(X, \, \mathbb{Z}) = 0$ per $k>n$, contraddizione. $\quad \square$


Riferimenti.

[1]
https://en.wikipedia.org/wiki/Aspherical_space
[2] S. Mac Lane: Homology, Classics in Mathematics, Springer 1995.
[3] https://mathoverflow.net/.../non-vanishing-of.../64702...
[4] A. Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press 2001, ISBN 0-521-79540-0.

23 marzo 2021

Lies

 

Image Credits: Kevin Ortiz Ceballos on Twitter (@kortizceballos)

21 marzo 2021

A nested radical

The following nested radical was proposed by Srinivasa Ramanujan in [1].


A quick proof of this remarkable identity is the following:



As noted by Ramanujan himself [2], it can be generalized to a vast class of nested radicals, see [3].

References.
[1] S. Ramanujan, J. Indian Math. Soc. 3 (1911), p. 90
[2] S. Ramanujan, J. Indian Math. Soc. 4 (1912), p. 226
[3] K. Srinivasa Rao, G. Vanden Berghe: On an entry of Ramanujan in his Notebooks: a nested roots expansion, Journal of Computational and Applied Mathematics Volume 173, Issue 2, 15 (2005) 371-378, https://doi.org/10.1016/j.cam.2004.04.009

Images Credits: Cliff Pickover (@pickover) and Kai (@UnderAntares) on Twitter