Triangoli con lati razionali aventi stessa area e perimetro.

Supponiamo di avere un triangolo $T$ aventi lati di lunghezza razionale $a$, $b$, $c$ e area razionale $A$, e di volere determinare un altro triangolo $T'$ (non congruente a $T$) con lati di lunghezza razionale e avente lo stesso perimetro $2p=a+b+c$ e la stessa area $A$. 

Indicando con $$a'=a+x, \quad b'=b+y, \quad c'=c-x-y$$ le lunghezze dei lati del nuovo triangolo $T'$, applicando la formula di Erone otteniamo con semplici passaggi l'eguaglianza

\begin{equation} \label{erone} \big(x- \alpha\big) \big(y-\beta \big) \big(x+y+\gamma \big)- \frac{A^2}{p}= 0, \end{equation}

dove $$\alpha=p-a, \quad \beta = p-b, \quad \gamma = p-c.$$ Si può vedere \eqref{erone} come l'equazione di una curva ellittica $E$ definita su $\mathbb{Q}$, il cui luogo dei punti reali consiste di quattro rami: un ovale compatto contenuto nel triangolo definito nel piano $(x, \, y)$ dalle tre rette di equazione $$x= \alpha,  \quad y=\beta, \quad y=-x- \gamma$$ e tre rami illimitati aventi ciascuno due delle suddette rette come asintoti (si veda la Figura 1).

Figura 1

L'ovale compatto corrisponde esattamente ai valori $(x, \, y, \, z)$ per i quali esiste un triangolo  $T'$ che ha area $A$. Esso contiene in generale almeno sei punti a coordinate razionali: il punto $o=(0, \, 0, \, 0)$, corrispondente al triangolo di partenza $T$ avente lati $(a, \, b, \, c)$, e i cinque punti corrispondenti alle permutazioni  non banali di $(a, \, b, \, c)$. 

Il problema geometrico originale di determinare il triangolo $T'$ si traduce quindi nel seguente problema di Teoria dei Numeri:

Problema. Si determini un punto razionale non banale nell'ovale compatto della curva ellittica $E$.

Non intendiamo qui risolvere il problema nella sua generalità, ma ci limitiamo a trattare un importante esempio. Si consideri il famoso triangolo rettangolo $T$ di lati $(a, \, b, \, c)=(3, \, 4, \,5)$, che ha perimetro $6$ e area $12$. In questo caso, l'equazione di $E$ diventa \begin{equation} \label{erone2} \big(x- 3\big) \big(y- 2 \big) \big(x+y+1 \big)- 6= 0. \end{equation}

Per determinare un punto razionale non banale nell'ovale compatto, utilizziamo il classico metodo delle rette secanti. 

L'ovale compatto contiene il punto razionale $o=(0, \, 0, \, 0)$, corrispondente a $T$, il punto razionale $p_1=(1, \, 1)$, corrispondente al triangolo di lati $(a, \, b, \, c)=(4, \,5, \, 3)$ e il punto razionale $p_2=(1, \, -1)$, corrispondente al triangolo di lati $(a, \, b, \, c)=(4, \, 3, \, 5)$.

Le retta $y-x=0$ passa per $o$ e $p_1$ e interseca $E$ nell'ulteriore punto razionale $p_3=(7/2, \, 7/2)$; tale punto non è ancora una soluzione al nostro problema, in quanto appartiene ad uno dei rami illimitati. 

Possiamo però considerare la retta passante per $p_3$ e $p_2$, che interseca $E$ nell'ulteriore punto razionale $p_4=(38/21, \, 16/35)$. Tale punto sta nell'ovale limitato, quindi corrisponde effettivamente ad una soluzione  del problema (si veda la Figura 2, realizzata con il calcolatore grafico Desmos).

Figura 2

Infatti, $p_4$ corrisponde al triangolo $T'$ di lati razionali $$(a, \, b, \, c)=(101/21, \, 156/35, \, 41/15).$$ È semplice verificare che esso è un triangolo acutangolo di perimetro $12$ e area $6$, gli stessi valori del triangolo rettangolo $T$ di partenza (Figura 3).

Figura 3

Varianti di questo procedimento permettono di determinare ulteriori triangoli con lati razionali, perimetro $12$ e area $6$. Ad esempio, partendo dalla retta tangente ad $E$ nel punto $o=(0, \, 0, \, 0)$ si può ottenere il triangolo ottusangolo di lati $$(a, \, b, \, c)=(35380/10153, \, 81831/16159, \, 27689/8023),$$ si veda la Figura 4.

Figura 4