Punti e rette

Ogni tanto si rilegge sui gruppi di Matematica la classica domanda "Se un punto ha dimensione $0$,  come fanno i punti a formare una retta che ha dimensione $1$?" 

In genere le risposte che vengono date  sono del tipo "Perché i punti sono infiniti" oppure, nella versione più tecnica, "Perché la dimensione non è additiva per un'unione non numerabile".

In realtà, queste risposte confondono il concetto di "dimensione" con quello di "misura". Ma la dimensione è più elusiva. Ad esempio, la retta razionale è numerabile, ma ha dimensione 1 su $\mathbb{Q}$. Peggio ancora, una retta affine sul campo finito $\mathbb{𝔽}_q$ contiene un numero finito di punti (esattamente $q$), ma ha dimensione $1$ su $\mathbb{𝔽}_q$.