Suddivisione di un cerchio

Si considerino $n$ punti sul bordo di un cerchio $C$. Qual è il numero massimo di regioni in cui si può suddividere $C$ se si uniscono i punti a due a due con linee rette? 

Per $1, \,2, \,3, \,4, \, 5$ punti si trova facilmente, lavorando un po' con carta e penna, che tale numero è rispettivamente pari a $$1, \, 2, \, 4, \, 8, \,16.$$ Si sarebbe tentati di credere che questa semplice serie di raddoppi continui, e che il numero massimo di regioni sia in ogni caso $2^{n-1}$. Sorprendentemente, questa intuizione si rivela fallace: per $n=6$ si ottiene un numero massimo di regioni pari a $31$ invece che a $32$, come mostra la figura seguente (tratta da [G81]).

Infatti, la formula corretta per il massimo numero di suddivisioni è $$n + \binom{n}{4} + \binom{n-1} {2},$$ i cui valori sono tabulati nella successione OEIS A000127. Tale numero coincide con il numero massimo di regioni in cui lo spazio 4-dimensionale $\mathbb{R}^4$ può essere suddiviso da $n-1$ iperpiani.

Riferimenti

[G81] M. Gardner: Circo Matematico (Sansoni 1981), pp. 203-204.

Il Teorema di André

Una permutazione alternante dell'insieme $\{1, \ldots, \, n\}$, da non confondersi con una permutazione appartenente al gruppo alterno $\mathsf{A}_n$, è una permutazione $\sigma \in \mathsf{S}_n$ tale che ogni elemento $\sigma(i)$ è alternativamente minore o maggiore del precedente; in altre parole, si ha  $$\sigma(1) < \sigma(2), \quad \sigma(2) > \sigma(3), \quad \sigma(3) < \sigma(4) $$

e così via. Ad esempio, le permutazioni alternanti di $\{1, \, 2, \,  3 \}$ sono $$1, \, 3, \, 2 \quad \quad 2, \, 3, \, 1$$ e quelle di  $\{1, \, 2, \,  3, \, 4 \}$ sono  $$1, \, 3, \, 2, \, 4 \quad \quad 1, \, 4, \, 2, \, 3 \quad \quad 2, \, 3, \, 1, \, 4 \quad \quad 2, \, 4, \, 1, \, 3, \quad \quad 3, \, 4, \, 1, \, 2$$Il numero $A_n$ di permutazioni alternanti di $\{1, \ldots, n\}$ è detto $n$-esimo numero di André , in onore di Désiré André (1840-1917), o anche $n$-esimo numero zig-zag o n-esimo numero up/down. Uno dei risultati più importanti dovuti ad André è la scoperta di una funzione generatrice per tali numeri, ed è noto oggi come 

Teorema di André [A1881]. La somma della serie $$A(x) = \sum_{n=1}^{+ \infty} A_n \frac{x^n}{n!}$$ è data da $$A(x)=\tan\left( \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=\sec x + \tan x.$$ Dunque il suo raggio di convergenza è $\frac{\pi}{2}$, da cui si ottiene il comportamento asintotico $$A_n \sim 2 \left(\frac{2}{\pi}\right)^{n + 1} \cdot n!\,. $$

I valori di $A_n$ sono tabulati nella successione OEIS A000111, i cui primi elementi sono $$1, \, 1, \, 2, \, 5, \, 16, \, 61, \, 272, \, 1385, \, 7936, \, 50521, \, \dots$$ È bene notare che la definizione di permutazione alternante data in OEIS è lievemente diversa dalla nostra, dato che vengono ammesse anche le permutazioni tali che $$\sigma(1) > \sigma(2), \quad \sigma(2) < \sigma(3), \quad \sigma(3) > \sigma(4) $$ e così via. Con questa definizione, il numero di permutazioni alternanti è $2A_n$, e i corrispondenti valori sono tabulati in OEIS A001250.

I numeri di André hanno numerosi legami con altri famosi numeri usati in Analisi e Combinatoria. Ad esempio, se $B_k$ è il $k$-esimo numero di Bernoulli, vale la relazione $$B_{2n} =(-1)^{n-1}\frac{2n}{4^{2n}-2^{2n}} A_{2n-1}.$$ Il lettore interessato può consultare la relativa voce Wikipedia per ulteriori informazioni e riferimenti bibliografici.

Riferimenti.
[A1881] D. André: Sur les permutations alternées, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 7 (1881), 167-184.

Terne pitagoriche monocromatiche e meccanizzazione della Matematica

Un famoso problema, posto da R. Graham, chiedeva se sia possibile colorare gli interi positivi con due colori (ad esempio, rosso e blu), in modo tale che non esista alcuna terna pitagorica monocromatica, cioè, nessuna tripla $a, \,b, \, c$ di interi dello stesso colore e tali che $a^2+b^2=c^2$.

Nel 2016, la questione venne risolta in senso negativo da tre informatici, M. Heule, O. Pullman e V. Marek, i quali dimostrarono il seguente risultato [HPM16]:

Teorema. Esiste una bi-colorazione di $\{1, \ldots, 7824\}$ che non contiene nessuna terna pitagorica monocromatica. Invece, non esiste nessuna tale bi-colorazione per $\{1, \ldots, 7825\}$.

La dimostrazione di questo enunciato è stata ottenuta utilizzando in modo essenziale il calcolatore. Più precisamente, i tre autori hanno costruito, per ogni $n$, una formula preposizionale che descrive una bi-colorazione di $\{1, \ldots, n\}$ senza terne pitagoriche monocromatiche. Successivamente, hanno implementato questa formula in un software specificamente progettato per la Logica Matematica (‘’SAT solver’’), cercando soluzioni per specifici valori di $n$.

Per $n=7824$ la ricerca è stata coronata da successo, e il software ha fornito una bi-colorazione esplicita che risolve il problema. Per $n=7825$, invece, nessuna tale colorazione è stata trovata.

Ovviamente, nel caso “negativo”, è rischioso accettare il responso del computer come una dimostrazione rigorosa della non-esistenza di una soluzione. Infatti, bisogna innanzitutto essere sicuri che l’algoritmo sia corretto ed esaustivo e che la macchina funzioni perfettamente; inoltre, molti matematici non sono pronti a considerare come soddisfacente una dimostrazione di impossibilità che non possa essere verificata “a mano’’ (si ricordi il famoso caso del Teorema dei Quattro Colori).

Heule, Pullman e Marek hanno dunque deciso di codificare la dimostrazione per mezzo di un procedimento di “validazione formale del risultato”, che ha prodotto un certificato di 68 gigabyte, che che è stato reso pubblicamente disponibile e contiene abbastanza informazioni per permettere a chiunque (almeno in linea di principio) di riprodurre la dimostrazione.

Questo esempio mostra che siamo arrivati ad un punto nel quale le dimostrazioni “computer assisted” cominciano a diventare essenziali in Matematica, facendoci riconsiderare (almeno in alcuni casi) il nostro concetto di “dimostrazione rigorosa”. Tutto ciò apre scenari affascinanti, e per certi versi inquietanti, sulla “meccanizzazione della Matematica”, che sarebbe troppo lungo considerare qui; il lettore interessato può leggere ad esempio [Av18].

Riferimenti.

[HPM16] M. Heule, O. Pullman e V. Marek: Solving and verifying the Boolean Pythagorean Triples via Cube-an-Conquerer, arXiv:1605.00723.

[AV18] J. Avigad: The Mechanization of Mathematics, Notices AMS 65, number 6 (2018).

Le due culture in Matematica

"I was thinking more of the tendency today for people
to develop whole areas of mathematics on their own,
in a rather abstract fashion. They just go on beavering
away. If you ask what is it all for, what is its signifi-
cance, what does it connect with, you find that they
don't know."
M. F. Atiyah [1]

Ai matematici capita spesso di lamentarsi del fatto che la Matematica (a differenza della Poesia, della Letteratura o della Filosofia) non sia ancora vista come una parte indispensabile del patrimonio culturale collettivo. Dopotutto, quante volte abbiamo incontrato persone, anche molto colte, affermare candidamente con un sorrisetto "eh, io di Matematica non ci capisco proprio nulla"? Eppure, nessuno avrebbe il coraggio di sostituire "Matematica" con "Shakespeare" senza il timore di apparire goffamente ignorante.

È quindi un po' paradossale che anche i matematici, all'interno della loro comunità, tendano a volte a replicare, più o meno inconsapevolmente, atteggiamenti di questo tipo. Capita, ad esempio, che i "theory builders" guardino con sufficienza i "problem solvers", e viceversa. 

Non è raro che, dopo aver studiato per anni il formalismo fortemente astratto della Geometria Algebrica moderna (quello sviluppato da Grothendieck negli EGA, per intenderci), uno si senta autorizzato ad alzare il sopracciglio verso chi si dedica a "semplici" problemi di Combinatoria; allo stesso modo, chi si dedica alla Combinatoria può considerare il Geometra Algebrico à la Grothendieck come uno snob spocchioso che non è in grado neanche di sporcarsi le mani con un semplice problema di colorazione di un grafo.

Ovviamente, il discorso precedente è una iper-semplificazione, dato che molti matematici sviluppano teorie proprio allo scopo di risolvere problemi (il viceversa, tuttavia, è molto meno frequente). A volte però, come acutamente osservato da M. Atiyah nella citazione iniziale, la ricerca dell'astrazione viene fatta per sè, escludendo a priori qualsiasi tentativo di applicazione della teoria o di ibridazione fra le due "culture".

Il risultato è una mancanza di comunicazione all'interno della comunità che, se da una parte rallenta intrinsecamente la ricerca scientifica, dall'altra può avere implicazioni devastanti per la carriera delle persone: non è infrequente che un "theory builder" duro e puro si trovi in una commissione che deve giudicare un candidato "problem solver" o viceversa, con risultati immaginabili in fase di valutazione.

L'argomento è chiaramente troppo vasto per un semplice post; il lettore interessato può trovare una bella analisi nell'articolo di W. T. Gowers The two cultures in mathematics [2], che contiene anche una serie importante di esempi che mostrano come Matematica Discreta e Combinatoria, lungi dall'essere solo una vasta collezione di problemi individuali e di risultati sparsi, contengono al loro interno principi generali di vasta applicabilità, anche se la struttura soggiacente è meno esplicita che nel caso della Geometria Algebrica o dell'Analisi Funzionale.

Esempi illuminanti sono la dimostrazione di P. Erdős del Teorema di Ramsey per mezzo di una "colorazione random" (che, usando le parole di Gowers, "opened the floodgates of probabilistic arguments in combinatorics") e quella di V. Milman del Teorema di Dworesky  per mezzo di un argomento di tipo "concentrazione della misura" che, oltre a dare il via all'analisi geometrica asintotica negli spazi di Banach, si è rivelato fecondo in altre parti della Matematica come l'Analisi Armonica e la Teoria delle PDE. 

L'articolo di Gowers termina con l'auspicio di una maggiore collaborazione fra i matematici appartenenti alle due "culture", pur osservando che "collaboration of this kind would require greater efforts on the part of problem-solvers to learn a bit of theory, and greater sympathy on the part of theoreticians towards mathematicians who do not know what cohomology is".

Magari ha senso concludere questo post come è iniziato, ovvero con una citazione di Atiyah [3]:

"... the ultimate justification for doing mathematics is intimately related with its overall unity. If we grant that, on purely utilitarian grounds, mathematics justifies itself by some of its applications, then the whole of mathematics acquires a rationale provided it remains a connected whole. Any part that drifts away from the main body of the field has then to justify itself in a more direct fashion".

Riferimenti.

[1] An interview with M. Atiyah, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 9-19
https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF03024202.pdf
[2] W. T. Gowers: The two cultures in Mathematics
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/2cultures.pdf
[3] M. F. Atiyah, Identifying progress in mathematics, ESF conference in Colmar, C.U.P. (1985), 24-41.

Il Problema delle Otto Regine

È tempo di Natale, le famiglie si riuniscono e dai cassetti vengono tirate fuori le scatole con i giochi. Giochi elettronici, di ruolo, di carte e, ovviamente, giochi da scacchiera. Fra questi ultimi, gli scacchi sono sicuramente fra quelli che hanno dato vita al maggior numero di rompicapo matematici. Uno dei più celebri è il

Problema delle Regine. Data una scacchiera $n \times n$, qual è il massimo numero di regine che possono essere poste su di essa, in modo tale che nessuna attacchi le rimanenti?

Siccome ogni regina può muoversi in orizzontale, verticale e diagonale, il problema è equivalente a quello di disporre il massimo numero di pedine sulla scacchiera, in maniera tale che non ve ne siano due sulla stessa riga, colonna o diagonale. Da ciò segue che il massimo numero di regine non può superare $n$, e non è difficile dimostrare che su ogni scacchiera di ordine almeno $4$ esiste almeno una soluzione con esattamente $n$ regine.

Molto più difficile è il problema di descrivere tutte le soluzioni o, almeno, un insieme completo di soluzioni a meno di rotazioni e riflessioni (le cosiddette "soluzioni fondamentali"). Per la scacchiera $4 \times 4$ vi è una sola soluzione fondamentale, per quella $5 \times 5$ ve ne sono due, e di nuovo solo una per quella $6 \times 6$. Il numero di soluzioni fondamentali per la scacchiera $7 \times 7$ è sei, quella classica $8 \times 8$ ne possiede dodici, quella $9 \times 9$ quarantasei e quella $10 \times 10$ novantadue.

Il numero totale di soluzioni al variare di $n$ è tabulato nella sequenza OEIS A000170, mentre quello di soluzioni fondamentali è tabulato nella sequenza OEIS A002562. Al momento, non esiste una formula chiusa per il numero di soluzioni in funzione di $n$, tuttavia sono stati pubblicati algoritmi di tipo "bit vector encoding" per produrre tutte le soluzioni [3].

Il problema originale, per la scacchiera 8x8, fu formulato da M. Bezzel nella rivista berlinese Schachzeitung nel 1848, e le $12$ soluzioni fondamentali vennero pubblicate per la prima volta da F. Nauck nella rivista di Lipsia Illustrierte Zeitung (1850). La prima dimostrazione che esse esauriscono tutte le possibilità, basata sulla teoria dei determinanti, fu data da J. W. Glaisher nel 1874. Vi è esattamente una soluzione fondamentale in cui non esistono tre regine allineate, quella indicata col numero (10) in [1].

Le 12 soluzioni fondamentali sulla scacchiera $8 \times 8$ (fonte: Wolfram MathWorld)

Per maggiori notizie sul Problema delle Otto Regine, e sui problemi correlati in cui le regine sono sostituite con altri pezzi degli scacchi, il lettore può consultare [2].

Nota computazionale. Nella pagina Wikipedia [1] si può trovare il seguente script in Pascal per determinare una soluzione al Problema delle Otto Regine:

program eightqueen1(output);
 
var i : integer; q : boolean;
    a : array[ 1 .. 8] of boolean;
    b : array[ 2 .. 16] of boolean;
    c : array[ -7 .. 7] of boolean;
    x : array[ 1 .. 8] of integer;
 
procedure try( i : integer; var q : boolean);
    var j : integer;
    begin 
    j := 0;
    repeat 
        j := j + 1; 
        q := false;
        if a[ j] and b[ i + j] and c[ i - j] then
            begin 
            x[ i    ] := j;
            a[ j    ] := false; 
            b[ i + j] := false; 
            c[ i - j] := false;
            if i < 8 then
                begin
                try( i + 1, q);
                if not q then
                    begin 
                    a[ j] := true; 
                    b[ i + j] := true; 
                    c[ i - j] := true;
                    end
                end 
            else 
                q := true
            end
    until q or (j = 8);
    end;
 
begin
for i :=  1 to  8 do a[ i] := true;
for i :=  2 to 16 do b[ i] := true;
for i := -7 to  7 do c[ i] := true;
try( 1, q);
if q then
    for i := 1 to 8 do write( x[ i]:4);
writeln
end.

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzlehttps://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzle
[2] M. Gardner: Enigmi e giochi matematici, Vol. 4.
[3] Z. Qiu: Bit-vector encoding of $n$-queen problem. ACM SIGPLAN Notices. 37 (2) (2002), 68-70. 

Il teorema dei Quattro Colori

Immaginiamo di avere una mappa piana costituita da un numero finito di regioni. Quanti colori sono al massimo necessari per colorarla in modo che due regioni adiacenti (cioè, con un confine in comune) non abbiano lo stesso colore?

Non è difficile costruire una mappa che necessita di quattro colori: si pensi ad una mappa costituita da un cerchio centrale e una corona circolare divisa in tre parti uguali intorno ad esso, come nella figura sotto: 

Una mappa che necessita di quattro colori (a sinistra) e il corrispondente grafo duale (a destra)

Sorge dunque naturale il seguente

Problema dei quattro colori. E' sempre possibile colorare una mappa piana con quattro colori, in modo che due regioni adiacenti abbiano colore differente? Oppure esiste una mappa che necessita di almeno $5$ colori? Equivalentemente, è vero che il numero cromatico del grafo duale di una mappa piana è sempre minore o uguale a $4$?

Si potrebbe pensare che l'origine del problema risalga allo studio della cartografia, ma in realtà le carte geografiche che necessitano di quattro colori sono piuttosto rare (tre colori bastano quasi sempre), e non si è trovata traccia di esso in nessun libro antico sull'argomento. L'origine del Problema dei Quattro Colori sembra in realtà risalire a F. Guthrie, uno studente ad Edimburgo che lo enunciò nel 1852. Guthrie ne parlò al suo insegnante A. De Morgan, il quale ne scrisse a sua volta come segue:

"A student of mine [Guthrie] asked me to day to give him a reason for a fact which I did not know was a fact—and do not yet. He says that if a figure be any how divided and the compartments differently colored so that figures with any portion of common boundary line are differently colored—four colors may be wanted but not more—the following is his case in which four colors are wanted. Query cannot a necessity for five or more be invented…"

Nel 1879, A. Kempe pubblicò una dimostrazione del Teorema dei Quattro Colori [K1879]. L'argomento di Kempe venne ritenuto corretto fino al 1890, quando P. J. Heawood scoprì al suo interno un errore fatale. I tentativi di Heawood di riparare la dimostrazione di Kempe non ebbero successo, tuttavia egli riuscì ad adattarne le tecniche per far vedere che cinque colori sono sempre sufficienti [H1890].

Dopodiché, molti matematici famosi si cimentarono nella dimostrazione del Teorema dei Quattro Colori, ma tutti i loro tentativi furono votati al fallimento. Nella sua biografia di D. Hilbert, C. Reid narra di H. Minkowski che (in un raro moto di arroganza) sostenne durante il suo corso di topologia a Goettingen che per un matematico di prim'ordine come lui ci sarebbe voluto ben poco per produrre una dimostrazione, salvo ritrattare poche settimane dopo spiegando che il suo argomento era fallace e che "il Cielo aveva punito la sua boria". Analogamente, nella sua autobiografia "Ex-prodigy", il pioniere della cibernetica N. Wiener descrive il suo sgomento nel vedere la dimostrazione da lui fornita "sbriciolarsi davanti ai suoi occhi" [Gard3].

La cosa era resa ancora più frustrante dal fatto che, paradossalmente, si conosceva la risposta per mappe disegnate per superfici in apparenza più complicate del piano, come il toro (dove sette colori sono necessari e sufficienti per colorare ogni mappa), la bottiglia di Klein, il nastro di Moebius o il piano proiettivo (dove sei colori sono necessari e sufficienti).

La dimostrazione del Teorema dei Quattro Colori arrivò nel 1976, ad opera di K. Appell e W. Haken [AH77]. Oltre che per il risultato in sé, la dimostrazione di Appell e Haken è storicamente importante in quanto si tratta del primo enunciato di rilievo dimostrato con l'ausilio del computer. La strategia della prova, infatti, consiste dapprima in un lungo e difficile procedimento di riduzione del problema originario ad un problema finito, che coinvolge $1936$ mappe. Tali mappe vengono poi analizzate una per una con l'aiuto del calcolatore, facendo vedere che ognuna di esse può essere colorata con quattro colori e deducendo da ciò che ogni mappa piana ha la stessa proprietà.

Siccome era impossibile verificare a mano i calcoli di Appell e Haken, molti matematici avanzarono dubbi sulla validità del metodo usato, o per lo meno lo trovarono insoddisfacente dal punto di vista epistemologico. Addirittura, il New York Times rifiutò di pubblicare un articolo sulla dimostrazione, temendo che potesse essere sbagliata come molte altre annunciate in precedenza.

Nel 1996, N. Robertson, P. Sanders, P. Seymour e R. Thomas diedero una nuova dimostrazione, basata sulle stesse idee di quella di Appell e Haken ma più efficiente, in quanto richiedeva l'analisi di "sole" 633 configurazioni. Ancora una volta, però, risultò impossibile verificare con carta e penna tutti i passaggi, e si dovette ricorrere al computer [RSST97].

Infine, nel 2005, B. Werner and G. Gonthier hanno implementato la dimostrazione del Teorema dei Quattro Colori nel linguaggio di programmazione (o, meglio, "theorem proving software") Coq, verificando la validità di ciascuno dei passi che la compongono [Gon08].

Riferimenti:

https://en.wikipedia.org/wiki/Four_color_theorem
http://mathworld.wolfram.com/Four-ColorTheorem.html

[AH77] K. Appel; W. Haken: Solution of the Four Color Map Problem, Scientific American, 237 (4), pp. 108–121 (1977)
[Gard3] M. Gardner: Enigmi e giochi matematici, vol 3.
[Gon08] G. Gonthier: Formal Proof—The Four-Color Theorem, Notices of the American Mathematical Society 55 (11), pp. 1382-1393 (2008).
[H1890] P. J. Heawood: Map-Colour Theorem, Quarterly Journal of Mathematics 24, 332–338 (1890).
[K1879] A. B. Kempe (1879): On the Geographical Problem of the Four Colours, American Journal of Mathematics  2 (3): 193–220.
[RSST97] N. Robertson; D. Sanders; P. Seymour; R. Thomas: The Four-Colour Theorem, J. Combin. Theory Ser. B 70 (1), pp. 2–44 (1977)doi:10.1006/jctb.1997.1750,

Geometria tropicale

La cosiddetta Geometria Tropicale è una branca della geometria relativamente recente, così chiamata in nome dello scienziato brasiliano Imra Simpson, che lavorò a San Paolo e cominciò a per primo a lavorare sull'argomento, motivato da problemi di Informatica.

Lo scopo principale della Geometria Tropicale è quello di trasformare problemi di Geometria Algebrica in problemi di Geometria Combinatoria, attraverso un provedimento detto "tropicalizzazione" che associa ad una varietà algebrica definita su $\mathbb{C}$ un complesso poliedrale reale, che codifica alcune (ma non tutte) le proprietà della varietà complessa di partenza.

Più precisamente, si può pensare alla Geometria Tropicale come ad una Geometria Algebrica sul cosiddetto "semi-anello tropicale", che è definito come l'insieme $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ con le due operazioni seguenti:
\begin{equation*}
\begin{split}
a \oplus b & = \min(a, \, b)\\
a \otimes b & = a + b.
\end{split}
\end{equation*} In tal modo si possono introdurre i corrispettivi tropicali di molte costruzioni classiche, e parlare di polinomi tropicali, ipersuperfici tropicali e varietà tropicali. Ad esempio, si verifica che il "luogo di zeri" di un polinomio tropicale è un oggetto lineare a tratti, che ha la struttura di un complesso poliedrale su $\mathbb{R}$.

Si dimostra inoltre che non tutti i complessi poliedrali su $\mathbb{R}$ si possono ottenere in tal modo, ma solo quelli che soddisfano alcune condizioni aggiuntive: infatti, le varietà tropicali sono esattamente i complessi poliedrali pesati, interi e bilanciati.

Il vantaggio della Geometria Tropicale è che si possono ridurre difficili problemi geometrico-algebrici a problemi di tipo combinatorio, che (almeno in linea di principio) possono essere risolti per mezzo di un calcolatore. Uno dei primi importanti risultati in Geometria Algebrica ottenuto con metodi tropicali è il Teorema di Mikhalkin (2005) che permette di calcolare il numero di curve algebriche di grado $d$ e genere $g$ passanti per $3d-1+g$ punti generali del piano contando (con opportuna molteplicità) il numero di corrispondenti curve tropicali.

Un altro (equivalente) approccio alla Geometria Tropicale è quello sviluppato da Kapranov, e che utilizza la teoria delle valutazioni. L'esempio da avere in mente è quello di una varietà algebrica $X$ contenuta nel toro $n$-dimensionale $(\mathbb{C}^*)^n$, e di cui si considera l'immagine $X_t$ tramite la mappa logaritmica
\begin{equation*}
\begin{split}
 \mathrm{Log}_t: (\mathbb{C}^*)^n & \to  \mathbb{R}^n \\
 (z_1, \ldots, z_n) & \mapsto  (\log_t(|z1|),...,\log_t(|zn|)).
\end{split}
\end{equation*} Il sottoinsieme $X_t$ di $\mathbb{R}^n$ viene chiamato un'ameba (il nome deriva dal fatto che quando $n=2$ la sua forma è tipicamente quella di un oggetto dendroide). Passando al limite di Hausdorff delle amebe $X_t$ per $t→ = \infty$ si ottiene un complesso poliedrale reale.

Ameba associata al polinomio $3z^2+5zw+w^3+1$.

Questa costruzione può essere generalizzata prendendo al posto di $\mathbb{C}$ un qualsiasi campo $\mathbb{K}$ con una valutazione non-archimedea, e considerando sottovarietà $X$ di $(\mathbb{K}^*)^n$ date dal luogo di zeri di un sistema di polinomi di Laurent nelle coordinate $x_1, \ldots, x_n$. In questo modo è possibile parlare di tropicalizzazioni di varietà algebriche definite su $\mathbb{K}$, e utilizzare i metodi della Geometria Tropicale per studiare ad esempio problemi che nascono nella teoria degli spazi di Berkovich (una generalizzazione degli spazi analitici nel contesto dei campi non archimedei).

Riferimenti:

N. Katz:What is...Tropical Geometry? Notices AMS 64 (4), 2017.

Squaring the square

È possibile suddividere un quadrato di lato intero in un numero finito $n >1$ di quadrati di lati interi fra loro tutti differenti?

Se si, diremo che si è ottenuto un "quadrato perfetto di ordine $n$". Nonostante la definizione ingannevolmente semplice, stabilire l'esistenza di quadrati pefetti si è rivelato un problema difficile e solo in tempi relativamente recenti è stato possibile darne una soluzione. Questo viene in genere chiamato "squaring the square problem", con evidente riferimento scherzoso al problema della quadratura del cerchio ("squaring the circle").

I primi a studiare sistematicamente la questione, fra il 1938 e il 1940, furono R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone and W. T. Tutte, ricercatori dell'Università di Cambridge. In modo ingegnoso e sorprendente essi riuscirono a trasformare il problema originale in un problema equivalente di reti elettriche, che poi risolsero applicando le leggi di Kirchhoff.

Il primo quadrato perfetto ottenuto in tal modo aveva ordine $69$; successivamente, un perfezionamento della tecnica permise di ottenere quadrati di ordine $39$.
Più o meno nello stesso periodo, altri ricercatori (R. Sprague, T. H. Willcocks) lavorarono sul problema utilizzando, invece del "metodo teorico" delle reti elettriche, un "metodo empirico" consistente nel combinare fra loro in modo ingegnoso rettangoli perfetti di vario ordine. In particolare, Willcocks costruì in tal modo (1946) un quadrato perfetto di ordine $24$. Occorrerà attendere fino al 1982 per la dimostrazione, ottenuta da J. W. Duijvestijn, P. J. Federico and P. Leeuw, che il minimo ordine possibile per un quadrato perfetto è $21$. Per maggiori dettagli, il lettore può consultare i riferimenti bibliografici citati in fondo al post.

Un affascinante e divertente resoconto di come Brooks, Smith, Stone e Tutte arrivarono al loro metodo delle reti elettriche, scritto dallo stesso Tutte, si può trovare nel Volume 2 di "Enigmi e Giochi Matematici" di M. Gardner.
Nell'appendice all'articolo di Gardner è contenuta anche la dimostrazione (un argomento per assurdo sorprendentemente semplice) che l'analogo problema in dimensione superiore non ha soluzione. In altre parole, non è possibile suddividere un cubo in un numero finito di cubi i cui spigoli abbiano tutti lunghezza differente. La stessa dimostrazione si applica a tutti gli ipercubi di dimensione maggiore di $2$.

Un quadrato perfetto di lato $4205$ e ordine $55$

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_square

[2] http://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html
[3] Brooks, R. L.; Smith, C. A. B.; Stone, A. H.; Tutte, W. T.: "The dissection of rectangles into squares". Duke Math. J. 7 (1940), 312–340.