La cosiddetta Geometria Tropicale è una branca della geometria relativamente recente, così chiamata in nome dello scienziato brasiliano Imra Simpson, che lavorò a San Paolo e cominciò a per primo a lavorare sull'argomento, motivato da problemi di Informatica.
Lo scopo principale della Geometria Tropicale è quello di trasformare problemi di Geometria Algebrica in problemi di Geometria Combinatoria, attraverso un provedimento detto "tropicalizzazione" che associa ad una varietà algebrica definita su $\mathbb{C}$ un complesso poliedrale reale, che codifica alcune (ma non tutte) le proprietà della varietà complessa di partenza.
Più precisamente, si può pensare alla Geometria Tropicale come ad una Geometria Algebrica sul cosiddetto "semi-anello tropicale", che è definito come l'insieme $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ con le due operazioni seguenti:
\begin{equation*}
\begin{split}
a \oplus b & = \min(a, \, b)\\
a \otimes b & = a + b.
\end{split}
\end{equation*} In tal modo si possono introdurre i corrispettivi tropicali di molte costruzioni classiche, e parlare di polinomi tropicali, ipersuperfici tropicali e varietà tropicali. Ad esempio, si verifica che il "luogo di zeri" di un polinomio tropicale è un oggetto lineare a tratti, che ha la struttura di un complesso poliedrale su $\mathbb{R}$.
Si dimostra inoltre che non tutti i complessi poliedrali su $\mathbb{R}$ si possono ottenere in tal modo, ma solo quelli che soddisfano alcune condizioni aggiuntive: infatti, le varietà tropicali sono esattamente i complessi poliedrali pesati, interi e bilanciati.
Il vantaggio della Geometria Tropicale è che si possono ridurre difficili problemi geometrico-algebrici a problemi di tipo combinatorio, che (almeno in linea di principio) possono essere risolti per mezzo di un calcolatore. Uno dei primi importanti risultati in Geometria Algebrica ottenuto con metodi tropicali è il Teorema di Mikhalkin (2005) che permette di calcolare il numero di curve algebriche di grado $d$ e genere $g$ passanti per $3d-1+g$ punti generali del piano contando (con opportuna molteplicità) il numero di corrispondenti curve tropicali.
Un altro (equivalente) approccio alla Geometria Tropicale è quello sviluppato da Kapranov, e che utilizza la teoria delle valutazioni. L'esempio da avere in mente è quello di una varietà algebrica $X$ contenuta nel toro $n$-dimensionale $(\mathbb{C}^*)^n$, e di cui si considera l'immagine $X_t$ tramite la mappa logaritmica
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathrm{Log}_t: (\mathbb{C}^*)^n & \to \mathbb{R}^n \\
(z_1, \ldots, z_n) & \mapsto (\log_t(|z1|),...,\log_t(|zn|)).
\end{split}
\end{equation*} Il sottoinsieme $X_t$ di $\mathbb{R}^n$ viene chiamato un'ameba (il nome deriva dal fatto che quando $n=2$ la sua forma è tipicamente quella di un oggetto dendroide). Passando al limite di Hausdorff delle amebe $X_t$ per $t→ = \infty$ si ottiene un complesso poliedrale reale.
Questa costruzione può essere generalizzata prendendo al posto di $\mathbb{C}$ un qualsiasi campo $\mathbb{K}$ con una valutazione non-archimedea, e considerando sottovarietà $X$ di $(\mathbb{K}^*)^n$ date dal luogo di zeri di un sistema di polinomi di Laurent nelle coordinate $x_1, \ldots, x_n$. In questo modo è possibile parlare di tropicalizzazioni di varietà algebriche definite su $\mathbb{K}$, e utilizzare i metodi della Geometria Tropicale per studiare ad esempio problemi che nascono nella teoria degli spazi di Berkovich (una generalizzazione degli spazi analitici nel contesto dei campi non archimedei).
Riferimenti:
N. Katz:What is...Tropical Geometry? Notices AMS 64 (4), 2017.
Lo scopo principale della Geometria Tropicale è quello di trasformare problemi di Geometria Algebrica in problemi di Geometria Combinatoria, attraverso un provedimento detto "tropicalizzazione" che associa ad una varietà algebrica definita su $\mathbb{C}$ un complesso poliedrale reale, che codifica alcune (ma non tutte) le proprietà della varietà complessa di partenza.
Più precisamente, si può pensare alla Geometria Tropicale come ad una Geometria Algebrica sul cosiddetto "semi-anello tropicale", che è definito come l'insieme $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ con le due operazioni seguenti:
\begin{equation*}
\begin{split}
a \oplus b & = \min(a, \, b)\\
a \otimes b & = a + b.
\end{split}
\end{equation*} In tal modo si possono introdurre i corrispettivi tropicali di molte costruzioni classiche, e parlare di polinomi tropicali, ipersuperfici tropicali e varietà tropicali. Ad esempio, si verifica che il "luogo di zeri" di un polinomio tropicale è un oggetto lineare a tratti, che ha la struttura di un complesso poliedrale su $\mathbb{R}$.
Si dimostra inoltre che non tutti i complessi poliedrali su $\mathbb{R}$ si possono ottenere in tal modo, ma solo quelli che soddisfano alcune condizioni aggiuntive: infatti, le varietà tropicali sono esattamente i complessi poliedrali pesati, interi e bilanciati.
Il vantaggio della Geometria Tropicale è che si possono ridurre difficili problemi geometrico-algebrici a problemi di tipo combinatorio, che (almeno in linea di principio) possono essere risolti per mezzo di un calcolatore. Uno dei primi importanti risultati in Geometria Algebrica ottenuto con metodi tropicali è il Teorema di Mikhalkin (2005) che permette di calcolare il numero di curve algebriche di grado $d$ e genere $g$ passanti per $3d-1+g$ punti generali del piano contando (con opportuna molteplicità) il numero di corrispondenti curve tropicali.
Un altro (equivalente) approccio alla Geometria Tropicale è quello sviluppato da Kapranov, e che utilizza la teoria delle valutazioni. L'esempio da avere in mente è quello di una varietà algebrica $X$ contenuta nel toro $n$-dimensionale $(\mathbb{C}^*)^n$, e di cui si considera l'immagine $X_t$ tramite la mappa logaritmica
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathrm{Log}_t: (\mathbb{C}^*)^n & \to \mathbb{R}^n \\
(z_1, \ldots, z_n) & \mapsto (\log_t(|z1|),...,\log_t(|zn|)).
\end{split}
\end{equation*} Il sottoinsieme $X_t$ di $\mathbb{R}^n$ viene chiamato un'ameba (il nome deriva dal fatto che quando $n=2$ la sua forma è tipicamente quella di un oggetto dendroide). Passando al limite di Hausdorff delle amebe $X_t$ per $t→ = \infty$ si ottiene un complesso poliedrale reale.
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| Ameba associata al polinomio $3z^2+5zw+w^3+1$. |
Riferimenti:
N. Katz:What is...Tropical Geometry? Notices AMS 64 (4), 2017.
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