$n$-ple diofantee

Una $n$-pla diofantea è un insieme di $n$ numeri naturali tali che il prodotto di due distinti di essi più $1$ sia un quadrato. La prima quadrupla diofantea $\{1, \, 3,\, 8,\, 120\}$ venne trovata da Fermat. Infatti, abbiamo
$$\begin{equation*} \begin{split} 1 \times 3+1 &= 2^2, \quad 1\times 8+1=3^2, \quad 1 \times 120+1 = 11^2, \\ 3 \times 8+1 & = 5^2,  \quad 3 \times 120+1= 19^2, \quad 8 \times 120+1 = 31^2. \end{split} \end{equation*}$$ La domanda che sorge naturale è quanto lunga possa essere una tale $n$-pla. È noto che vi sono famiglie infinite di quadruple diofantee, alcune delle quali possono essere parametrizzate usando polinomi oppure numeri di Fibonacci. Ad esempio, per ogni numero naturale $k$ si possono considerare le quadruple
$$\begin{equation*} \begin{split} & \{k, \; k+2, \; 4k+4, \; 16k^3+48k^2+44k+12\}, \\ & \{F_{k}, \; F_{k+2}, \; F_{k+4}, \; 4F_{2k+1}F_{2k+2}F_{2k+3} \}. \end{split} \end{equation*}$$ Si sa inoltre che ogni tripla diofantea $\{a, \, b, \, c\}$ può essere estesa ad una quadrupla diofantea $\{a, \, b, \, c, \, d\}$. Infatti, ponendo $$ab+1=r^2, \quad ac+1=s^2, \quad bc+1=t^2,$$ basta prendere $d=a+b+c+2abc+2rst$. Non è noto al momento se tutte le quadruple diofantee siano di questa forma.

Un altro problema aperto è l'esistenza di quintuple diofantee. Nel 1969 Baker e Davenport dimostrarono che la quadrupla di Fermat $\{1, \, 3, \, 8, \, 120\}$ non può essere estesa ad una quintupla, e nel 2004 è stato dimostrato che non esistono sestuple diofantee, e che esistono al più un numero finito di quintuple.

L'idea per dimostrare la finitezza delle quintuple diofantee è di ricondursi ad un sistema di due equazioni di Pell, la cui soluzione è ottenuta per mezzo di frazioni continue. Applicando le stime di Baker sui logaritmi di numeri algebrici e alcuni risultati di Petho sui sistemi di congruenze si ottiene un upper bound per il numero delle soluzioni comuni alle due equazioni, e dunque per il numero delle quintuple.

Una generalizzazione delle $n$-ple diofantee è data dalla $n$-ple diofantee razionali, in cui i numeri, invece di essere interi, sono razionali. La prima quadrupla razionale venne considerata dallo stesso Diofanto: $$\{1/16, \, 33/16, \, 17/4, \, 105/16\},$$ e successivamente Eulero trovò famiglie infinite di esse. Circa due secoli dopo, Gibbs (1999) fornì il primo esempio di sestupla razionale $$\{11/192, \, 35/192, \, 155/27, \, 512/27, \, 1235/48, \, 180873/16 \}.$$ Nel 2016, A. Dujella e i suoi collaboratori costruirono famiglie infinite di sestuple razionali, mentre il problema dell'esistenza di una $7$-pla razionale è ancora aperto.

Si rimanda il lettore all'articolo di Dujella citato in bibliografia per maggiori dettagli sull'argomento, e in particolare su come il problema di determinare $n$-ple diofantee razionali possa essere ricondotto ad un problema che riguarda la determinazione di punti razionali su curve ellittiche.

Riferimenti:

A. Dujella: What is...a Diophantine m-tuple? Notices AMS 63 (7), 772–774 (2016)