Cheapness

Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.

V. I. Arnold

Source:

On teaching mathematics, Uspekhi Mat. Nauk 53 (1998), no. 1, 229-234;

English translation: Russian Math. Surveys 53 (1998), no. 1, 229-236.

Il Teorema di André

Una permutazione alternante dell'insieme $\{1, \ldots, \, n\}$, da non confondersi con una permutazione appartenente al gruppo alterno $\mathsf{A}_n$, è una permutazione $\sigma \in \mathsf{S}_n$ tale che ogni elemento $\sigma(i)$ è alternativamente minore o maggiore del precedente; in altre parole, si ha  $$\sigma(1) < \sigma(2), \quad \sigma(2) > \sigma(3), \quad \sigma(3) < \sigma(4) $$

e così via. Ad esempio, le permutazioni alternanti di $\{1, \, 2, \,  3 \}$ sono $$1, \, 3, \, 2 \quad \quad 2, \, 3, \, 1$$ e quelle di  $\{1, \, 2, \,  3, \, 4 \}$ sono  $$1, \, 3, \, 2, \, 4 \quad \quad 1, \, 4, \, 2, \, 3 \quad \quad 2, \, 3, \, 1, \, 4 \quad \quad 2, \, 4, \, 1, \, 3, \quad \quad 3, \, 4, \, 1, \, 2$$Il numero $A_n$ di permutazioni alternanti di $\{1, \ldots, n\}$ è detto $n$-esimo numero di André , in onore di Désiré André (1840-1917), o anche $n$-esimo numero zig-zag o n-esimo numero up/down. Uno dei risultati più importanti dovuti ad André è la scoperta di una funzione generatrice per tali numeri, ed è noto oggi come 

Teorema di André [A1881]. La somma della serie $$A(x) = \sum_{n=1}^{+ \infty} A_n \frac{x^n}{n!}$$ è data da $$A(x)=\tan\left( \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=\sec x + \tan x.$$ Dunque il suo raggio di convergenza è $\frac{\pi}{2}$, da cui si ottiene il comportamento asintotico $$A_n \sim 2 \left(\frac{2}{\pi}\right)^{n + 1} \cdot n!\,. $$

I valori di $A_n$ sono tabulati nella successione OEIS A000111, i cui primi elementi sono $$1, \, 1, \, 2, \, 5, \, 16, \, 61, \, 272, \, 1385, \, 7936, \, 50521, \, \dots$$ È bene notare che la definizione di permutazione alternante data in OEIS è lievemente diversa dalla nostra, dato che vengono ammesse anche le permutazioni tali che $$\sigma(1) > \sigma(2), \quad \sigma(2) < \sigma(3), \quad \sigma(3) > \sigma(4) $$ e così via. Con questa definizione, il numero di permutazioni alternanti è $2A_n$, e i corrispondenti valori sono tabulati in OEIS A001250.

I numeri di André hanno numerosi legami con altri famosi numeri usati in Analisi e Combinatoria. Ad esempio, se $B_k$ è il $k$-esimo numero di Bernoulli, vale la relazione $$B_{2n} =(-1)^{n-1}\frac{2n}{4^{2n}-2^{2n}} A_{2n-1}.$$ Il lettore interessato può consultare la relativa voce Wikipedia per ulteriori informazioni e riferimenti bibliografici.

Riferimenti.
[A1881] D. André: Sur les permutations alternées, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 7 (1881), 167-184.

Eureka

La nota nel diario di Carl Friedrich Gauss datata 10 luglio 1796 (quando Gauss aveva 19 anni). Subito sotto la parte cancellata, si può leggere

EUREKA num(ber) = △ + △ + △

Gauss aveva appena scoperto che ogni numero naturale si può scrivere come somma di tre numeri triangolari.

Riferimenti. 

[1] Gauss Diary, Wikipedia
[2] Jonathan Kujava: Eureka!, 3 Quarks Daily, March 2, 2015

Je n'ai pas le temps

Una pagina del manoscritto sulla teoria delle equazioni redatto da Évariste Galois il 30 maggio 1832, la notte prima del duello nel quale avrebbe perso la vita a soli 20 anni.

In basso a sinistra, sopra la parte cancellata, si può leggere la celebre frase "Il y a quelque chose à completer dans cette démonstration. Je n'ai pas le temps".

Fonte:

Tony Rothman: The short life of Évariste Galois, Scientific American 246, No. 4 (April 1982), p. 138.

Siblings

Il congresso Bourbaki del 1938 a Dieulefit. Da sinistra: Simone Weil, Charles Pisot, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chabauty, Charles Ehresmann, Jean Delsarte. 

Per tutta la sua breve vita, Simone Weil fu interessata alla Matematica, il cui profondo rigore logico influenzò parte del suo pensiero. Ammirava senza riserve il fratello André, pur non potendo ovviamente seguirlo nella parte tecnica del suo lavoro. 

Resta famosa una lunga lettera (14 pagine) di André a Simone del 1940, nella quale il matematico tenta di spiegare alla sorella filosofa alcuni risultati di Teoria dei Numeri, come la legge di reciprocità quadratica di Gauss e la teoria degli ideali di Kummer.

Fonte: Wikipedia.

Les enfants terribles

André and Simone Weil in Knokkele-Zoute, Belgium, 1922.

Source: Simone Pétrement, La vie de Simone Weil (1973).

Wisdom

A good proof is a proof that makes us wiser.
Yuri Manin

Source: The Berlin Intelligencer, 1998, p. 16–19.

Quadrilateri e tassellazioni

Per la serie "forse non tutti sanno che":

Teorema. Ogni quadrilatero (anche non convesso) può essere usato per tassellare il piano.

Dimostrazione. Si parte da un quadrilatero ABCD, e si ruota di 180 gradi rispetto al punto medio di uno dei lati. Si ripete la costruzione quattro volte, usando ogni volta il punto medio di un lato come centro di rotazione. Siccome la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360 gradi, alla fine della procedura la figura si chiude senza pezzi mancanti o sovrapposizioni, e il quadrilatero tassella. $\square$

(Molti) più dettagli qui.

Fonte: Math & the art of MC Escher

Il Vieta jumping

Col nome di Vieta jumping (o "root flipping") si indica una tecnica di discesa infinita utilizzata in problemi aritmetici del tipo:

Dati due interi $a$, $b$ che soddisfano una data proprietà $\mathsf{P}$, si dimostri che una certa espressione razionale $R(a, \, b)$ soddisfa una ulteriore proprietà $\mathsf{Q}$.

La forma standard del metodo consiste dei passi seguenti:

• si suppone per assurdo che esistano $a$, $b$  che soddisfano $\mathsf{P}$ e tali che $k:=R(a, \, b)$ non soddisfa $\mathsf{Q}$;
• si sceglie la coppia $(a, \, b)$ come sopra in modo che essa soddisfi una opportuna condizione di minimalità;
• si fissa uno degli elementi della coppia, diciamo $b$, e si sostituisce l'altro con una quantità variabile $x$,  ottenendo una  equazione algebrica in $x$ della forma $R(x, \, b)-k=0$;
• prendendo una radice $\bar{x}$ di tale equazione diversa da $a$, si fa vedere che la nuova coppia $(\bar{x}, \, b)$ soddisfa $\mathsf{P}$ ed è minore di $(a, \, b)$, contraddicendo l'ipotesi di minimalità.

Applichiamo ora il Vieta jumping ad un famoso problema delle Olimpiadi Internazionali di Matematica del 1988, spesso citato per la sua difficoltà. Solo $11$ partecipanti riuscirono a risolverlo, fra i quali la futura Medaglia Fields Ngô Bảo Châu e il futuro professore di Matematica a Stanford Ravi Vakil.

Problema n. 6, IMO 1988. Siamo $a$, $b$ interi positivi tali che $ab+1$ divida $a^2+b^2$. Si dimostri che $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ è un quadrato perfetto.

Soluzione. Si supponga che $a$, $b$ siano tali che l'intero positivo $k:=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ non sia un quadrato perfetto, e si scelga una coppia $(a, \, b)$ con questa proprietà tale che $a \geq b$ e $a+b$ sia minimo. 

Si fissi $b$ e si sostituisca $a$ con una quantità variabile $x$, ottenendo l'equazione quadratica $$x^2-kbx+b^2-k=0.$$Sappiamo che $x_1=a$ è una soluzione, e indichiamo l'altra soluzione con $x_2$; allora l'espressione di $k$ rimane valida se si sostituisce $a$ con $x_2$, in altre parole $$\frac{x_2^2+b^2}{x_2b+1}=k>0.$$ Da qui segue $x_2b+1 > 0$, e quindi $x_2 \geq 0$, essendo $b>0$ per ipotesi.

Inoltre, dalle usuali formule per la somma e il prodotto delle radici di una equazione di secondo grado, si ricava $$x_2=kb-a, \quad x_2=\frac{b^2-k}{a}.$$ La prima espressione mostra che $x_2$ è un intero, mentre la seconda (e qui sta il punto cruciale) implica che $x_2 >0$, dato che per ipotesi $k$ non è un quadrato perfetto.   

Siccome $a \geq b$, si ottiene $$x_2 = \frac{b^2-k}{a} \leq \frac{a^2-k}{a} <a$$ e quindi $x_2+b < a +b$, contraddicendo la minimalità di $a+b$. $\square$

Characters

I find all of my performances come down to mathematics in a sense—how do you approach the problem of this character? Sometimes I crack that problem, sometimes I don’t. 
Brad Pitt 

Source:
Interview by Elvis Mitchell, February 7, 2012.

Happiness

If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I do mathematics to keep happy.
Alfréd Rény (1921-1970)

Source:
Pál Turán (1970). "The Work of Alfréd Rényi". Matematikai Lapok 21: 199–210.

Hilbert rest space

David Hilbert's grave in Göttingen. On the gravestone is carved his famous motto "Wir mussen wissen. Wir werden wissen" ("We must know. We will know").

Source: Wikimedia Commons

Il teorema di Cayley-Bacharach

Il teorema di Cayley-Bacharach è un sorprendente risultato di geometria proiettiva nel piano riguardante le curve di grado $3$ (cubiche). Esso può essere visto come il più semplice esempio in cui compare l'importante concetto di "sovrabbondanza" di un sistema lineare di curve. L'enunciato è il seguente:

Teorema (Cayley-Bacharach).  Sia $k$ un campo algebricamente chiuso e si considerino nove punti $p_1, \ldots, p_9$ nel piano proiettivo $\mathbb{P}^2(k)$ che siano l'intersezione  di due cubiche $C_1$ e $C_2$. Allora, ogni cubica $C$ che passi per otto qualsiasi dei punti $p_i$ passa necessariamante anche per il nono.

La dimostrazione completa del teorema presenta qualche sottigliezza tecnica, ma l'idea è semplice da comprendere. Esistono esattamente dieci monomi di grado 3 nelle variabili $x_0, \, x_1, \, x_2$, quindi i polinomi omogenei di grado $3$  in tali variabili formano uno spazio vettoriale $V_3$ che ha dimensione $10$ su $k$. Siccome una cubica è definita da un tale polinomio a meno di uno scalare moltiplicativo,  l'insieme delle cubiche (quello che si chiama il "sistema lineare completo") è dato dallo spazio proiettivo $\mathbb{P}(V_3)$, che ha dimensione $9$ su $k$. Pertanto, per nove punti del piano in posizione generale passerà una e una sola cubica.

Consideriamo ora le cubiche che passano per otto dei nove punti $p_i$, diciamo $p_1, \ldots, p_8$. Il conto di parametri considerato prima mostra che vi è uno spazio proiettivo $\mathbb{P}(W) \subset \mathbb{P}(V_3)$ di dimensione almeno $9-8=1$ di cubiche passanti per essi, e la cosa delicata da mostrare è che tale spazio ha dimensione esattamente $1$. Allora, siccome  $C_1$, $C_2$ stanno in $\mathbb{P}(W)$ per definizione, ogni cubica passante per $p_1, \ldots, p_8$ è della forma $\lambda_1 C_1 + \lambda_2 C_2$, con $\lambda_1, \, \lambda_2 \in k$. Ma $C_1$ e $C_2$ passano anche per $p_9$, dunque lo stesso vale per $C$.

Questo argomento mostra che nove punti del piano che stanno sull'intersezione di due cubiche non  sono in posizione generale, dato che impongono solo otto (invece di nove) condizioni lineari alle forme omogenee di grado $3$.  Più precisamente, l'insieme dei nove punti $p_1, \ldots, p_9$ impone alle forme di grado $3$ lo stesso numero di condizioni imposte da otto qualsiasi di essi, e questo è all'origine del fenomeno "otto implica nove" nell'enunciato del teorema.

Ogni cubica (in nero) passante per otto dei nove punti di intersezione delle cubiche blu e rossa passa anche per il nono. Fonte immagine: Wikipedia 

Riferimenti.

[B886] I. Bacharach: Ueber den Cayley'schen Schnittpunktsatz, Mathematische Annalen, 26 (2): 275–299 (1886), doi:10.1007/BF01444338

[W] https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_Bacharach_theorem

Curves

Everyone knows what a curve is, until he has studied enough Mathematics to become confused through the countless number of possible exceptions.

Felix Klein

Original quote:
Was eine Kurve ist, glaubt jeder Mensch zu wissen, bis er so viel Mathematik gelernt hat, daß ihn die unzähligen möglichen Abnormitäten verwirrt gemacht haben.
(Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Bd.2)

https://hsm.stackexchange.com/questions/9789/source-for-felix-klein-quote-about-curves