Il teorema di Cayley-Bacharach è un sorprendente risultato di geometria proiettiva nel piano riguardante le curve di grado $3$ (cubiche). Esso può essere visto come il più semplice esempio in cui compare l'importante concetto di "sovrabbondanza" di un sistema lineare di curve. L'enunciato è il seguente:
Teorema (Cayley-Bacharach). Sia $k$ un campo algebricamente chiuso e si considerino nove punti $p_1, \ldots, p_9$ nel piano proiettivo $\mathbb{P}^2(k)$ che siano l'intersezione di due cubiche $C_1$ e $C_2$. Allora, ogni cubica $C$ che passi per otto qualsiasi dei punti $p_i$ passa necessariamante anche per il nono.
La dimostrazione completa del teorema presenta qualche sottigliezza tecnica, ma l'idea è semplice da comprendere. Esistono esattamente dieci monomi di grado 3 nelle variabili $x_0, \, x_1, \, x_2$, quindi i polinomi omogenei di grado $3$ in tali variabili formano uno spazio vettoriale $V_3$ che ha dimensione $10$ su $k$. Siccome una cubica è definita da un tale polinomio a meno di uno scalare moltiplicativo, l'insieme delle cubiche (quello che si chiama il "sistema lineare completo") è dato dallo spazio proiettivo $\mathbb{P}(V_3)$, che ha dimensione $9$ su $k$. Pertanto, per nove punti del piano in posizione generale passerà una e una sola cubica.
Consideriamo ora le cubiche che passano per otto dei nove punti $p_i$, diciamo $p_1, \ldots, p_8$. Il conto di parametri considerato prima mostra che vi è uno spazio proiettivo $\mathbb{P}(W) \subset \mathbb{P}(V_3)$ di dimensione almeno $9-8=1$ di cubiche passanti per essi, e la cosa delicata da mostrare è che tale spazio ha dimensione esattamente $1$. Allora, siccome $C_1$, $C_2$ stanno in $\mathbb{P}(W)$ per definizione, ogni cubica passante per $p_1, \ldots, p_8$ è della forma $\lambda_1 C_1 + \lambda_2 C_2$, con $\lambda_1, \, \lambda_2 \in k$. Ma $C_1$ e $C_2$ passano anche per $p_9$, dunque lo stesso vale per $C$.
Questo argomento mostra che nove punti del piano che stanno sull'intersezione di due cubiche non sono in posizione generale, dato che impongono solo otto (invece di nove) condizioni lineari alle forme omogenee di grado $3$. Più precisamente, l'insieme dei nove punti $p_1, \ldots, p_9$ impone alle forme di grado $3$ lo stesso numero di condizioni imposte da otto qualsiasi di essi, e questo è all'origine del fenomeno "otto implica nove" nell'enunciato del teorema.
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| Ogni cubica (in nero) passante per otto dei nove punti di intersezione delle cubiche blu e rossa passa anche per il nono. Fonte immagine: Wikipedia |
Riferimenti.
[B886] I. Bacharach: Ueber den Cayley'schen Schnittpunktsatz, Mathematische Annalen, 26 (2): 275–299 (1886), doi:10.1007/BF01444338
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