A. Square

La copertina della prima edizione di Flatland (Londra, 1884). Si può leggere il celebre sottotitolo "A romance of many dimensions, by A. Square."

Fin da subito, l'opera di Edwin Abbott suscitò reazioni contrastanti. Alcuni la lodarono come metafora del libero pensiero, che sfida i precetti della religione organizzata e della morale costituita per raggiungere nuove e più elevate forme di consapevolezza. Altri la criticarono aspramente, in quanto descriveva una società rigidamente divisa in caste, con le donne poste in fondo alla scala gerarchica.

Abbott si difese da queste accuse (in particolare, da quella di misoginia) nella prefazione alla seconda edizione, affermando che la sua voleva essere una rappresentazione satirica delle rigide convenzioni sociali e familiari insite nella società vittoriana.

Fonte: Wikipedia

La clef des songes

Stamattina mia figlia di sei anni trotterellava per casa portandosi appresso un giocattolo che riproduceva la chiave di accensione di una automobile, con il telecomando per aprire le portiere e tutto il resto. Incuriosito, mi sono avvicinato:

"Giochi a fare il pilota di Formula 1?"

"Ma no, papà, questa è la chiave dei sogni." 

"Ah, vedi, come Grothendieck."

"Eh?"

"No, niente..."

La clef des songes - ou Dialogue avec le Bon Dieu è un manoscritto di 315 pagine, scritto nel 1987, nel quale Alexander Grothendieck, da molti considerato il più grande matematico del ventesimo secolo, analizza il significato dei suoi sogni, deducendo da essi l'esistenza di Dio. Si tratta di un testo importante anche dal punto di vista storico, in quanto contiene molti riferimenti autobiografici, in particolare riguardo l'infanzia di Grothendieck e il suo periodo di internamento con la madre in un campo di concentramento durante la Seconda Guerra Mondiale.

Alcuni di coloro che hanno letto l'opera la ritengono frutto di una mente disturbata; altri (ad esempio, Laurent Lafforgue) la considerano invece un libro profondamente visionario e spirituale, in anticipo rispetto ai suoi tempi.  Qualunque sia la verità, è sicuro che durante gli ultimi anni della sua vita Grothendieck si avvicinò a forme ascetiche di misticismo cristiano, mantenendo anche in questo lo stesso atteggiamento puro e incompromissorio che aveva caratterizzato tutta la sua carriera professionale.

Le due culture in Matematica

"I was thinking more of the tendency today for people
to develop whole areas of mathematics on their own,
in a rather abstract fashion. They just go on beavering
away. If you ask what is it all for, what is its signifi-
cance, what does it connect with, you find that they
don't know."
M. F. Atiyah [1]

Ai matematici capita spesso di lamentarsi del fatto che la Matematica (a differenza della Poesia, della Letteratura o della Filosofia) non sia ancora vista come una parte indispensabile del patrimonio culturale collettivo. Dopotutto, quante volte abbiamo incontrato persone, anche molto colte, affermare candidamente con un sorrisetto "eh, io di Matematica non ci capisco proprio nulla"? Eppure, nessuno avrebbe il coraggio di sostituire "Matematica" con "Shakespeare" senza il timore di apparire goffamente ignorante.

È quindi un po' paradossale che anche i matematici, all'interno della loro comunità, tendano a volte a replicare, più o meno inconsapevolmente, atteggiamenti di questo tipo. Capita, ad esempio, che i "theory builders" guardino con sufficienza i "problem solvers", e viceversa. 

Non è raro che, dopo aver studiato per anni il formalismo fortemente astratto della Geometria Algebrica moderna (quello sviluppato da Grothendieck negli EGA, per intenderci), uno si senta autorizzato ad alzare il sopracciglio verso chi si dedica a "semplici" problemi di Combinatoria; allo stesso modo, chi si dedica alla Combinatoria può considerare il Geometra Algebrico à la Grothendieck come uno snob spocchioso che non è in grado neanche di sporcarsi le mani con un semplice problema di colorazione di un grafo.

Ovviamente, il discorso precedente è una iper-semplificazione, dato che molti matematici sviluppano teorie proprio allo scopo di risolvere problemi (il viceversa, tuttavia, è molto meno frequente). A volte però, come acutamente osservato da M. Atiyah nella citazione iniziale, la ricerca dell'astrazione viene fatta per sè, escludendo a priori qualsiasi tentativo di applicazione della teoria o di ibridazione fra le due "culture".

Il risultato è una mancanza di comunicazione all'interno della comunità che, se da una parte rallenta intrinsecamente la ricerca scientifica, dall'altra può avere implicazioni devastanti per la carriera delle persone: non è infrequente che un "theory builder" duro e puro si trovi in una commissione che deve giudicare un candidato "problem solver" o viceversa, con risultati immaginabili in fase di valutazione.

L'argomento è chiaramente troppo vasto per un semplice post; il lettore interessato può trovare una bella analisi nell'articolo di W. T. Gowers The two cultures in mathematics [2], che contiene anche una serie importante di esempi che mostrano come Matematica Discreta e Combinatoria, lungi dall'essere solo una vasta collezione di problemi individuali e di risultati sparsi, contengono al loro interno principi generali di vasta applicabilità, anche se la struttura soggiacente è meno esplicita che nel caso della Geometria Algebrica o dell'Analisi Funzionale.

Esempi illuminanti sono la dimostrazione di P. Erdős del Teorema di Ramsey per mezzo di una "colorazione random" (che, usando le parole di Gowers, "opened the floodgates of probabilistic arguments in combinatorics") e quella di V. Milman del Teorema di Dworesky  per mezzo di un argomento di tipo "concentrazione della misura" che, oltre a dare il via all'analisi geometrica asintotica negli spazi di Banach, si è rivelato fecondo in altre parti della Matematica come l'Analisi Armonica e la Teoria delle PDE. 

L'articolo di Gowers termina con l'auspicio di una maggiore collaborazione fra i matematici appartenenti alle due "culture", pur osservando che "collaboration of this kind would require greater efforts on the part of problem-solvers to learn a bit of theory, and greater sympathy on the part of theoreticians towards mathematicians who do not know what cohomology is".

Magari ha senso concludere questo post come è iniziato, ovvero con una citazione di Atiyah [3]:

"... the ultimate justification for doing mathematics is intimately related with its overall unity. If we grant that, on purely utilitarian grounds, mathematics justifies itself by some of its applications, then the whole of mathematics acquires a rationale provided it remains a connected whole. Any part that drifts away from the main body of the field has then to justify itself in a more direct fashion".

Riferimenti.

[1] An interview with M. Atiyah, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 9-19
https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF03024202.pdf
[2] W. T. Gowers: The two cultures in Mathematics
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/2cultures.pdf
[3] M. F. Atiyah, Identifying progress in mathematics, ESF conference in Colmar, C.U.P. (1985), 24-41.

La misura del mondo

Fra i romanzi che hanno fra i protagonisti un grande matematico, merita un posto a parte  "La misura del mondo" (il titolo originale è "Die Vermessung der Welt")  del giovane scrittore tedesco D. Kehlmann (1975). Pubblicato nel 2005 e diventato un immediato bestseller, ha fatto guadagnare al suo autore paragoni con Nabokov e Proust, per la complessità dell'intreccio e la sapiente e allo stesso tempo leggera descrizione dei personaggi.

A "misurare il mondo" sono due famosi scienziati tedeschi, il matematico C. F. Gauss e l'esploratore A. von Humboldt, accomunati da grandi affinità ma anche separati da profonde differenze. Ad un certo punto si incontreranno a Berlino per un congresso scientifico (con gioia di von Humboldt e fastidio di Gauss, che detesta viaggiare), e ciò finirà per segnare profondamente entrambi.

Gauss, nato in estrema povertà, mostra il suo immenso genio fin dall'infanzia, arrivando a scrivere le sue Disquisitiones Arithmeticae (che gli daranno fama imperitura) poco più che ventenne. Il "principe dei matematici" passa quasi tutta la sua vita a Gottinga, ossessionato dal ricordo della prima moglie Johanna morta di parto (che tuttavia aveva abbandonato nel letto nuziale per appuntare su un pezzo di carta la formula dei minimi quadrati) e amareggiato per l'ottusità e la lentezza di pensiero che riscontra negli altri individui, compresi la seconda moglie Minna e il figlio Eugene, trattati ai limiti del disprezzo. Nell'ultima parte della sua vita si appassiona al problema del magnetismo terrestre, anche per via degli scambi epistolari con il giovane fisico W. E. Weber, che proprio grazie a Gauss ottiene (appena ventisettenne) una cattedra a Gottinga.

Von Humboldt nasce invece nobile, e viene allevato con l'idea della futura grandezza sin dalla più tenera età. Ossessionato dall'idea di viaggiare, abbandona una promettente carriera diplomatica in Prussia e si lancia nell'esplorazione dell'Amazzonia, mappando il canale naturale fra l'Orenoco e il Rio delle Amazzoni, sfidando zanzare, rapide e cannibali, scalando vulcani, scoprendo miniere e ignorando completamente i rapporti con l'altro sesso. Nell'ultima parte della sua vita si entusiasma per un viaggio di esplorazione in Siberia organizzato per lui dallo Zar di Russia, ma il confronto con i viaggi compiuti da giovane, quando era in salute, libero e sconosciuto, si rivela impietoso.

Gauss vede poco con i suoi occhi, ma molto con la sua mente. Al contrario, von Humboldt non capisce una parola di Matematica, ma viaggia in lungo e in largo per ottenere in prima persona quante più informazioni possibili sul mondo reale.

Entrambi i personaggi sono sostanzialmente dei solitari, chiusi nella realtà che si sono costruiti e infastiditi dalla fama crescente che accompagna le loro scoperte. Nonostante le loro enormi differenze, di nascita come di carattere, sia Gauss che von Humboldt sono tormentati dalla medesima ossessione: ciascuno nel proprio ambito, acquisire un'enorme mole di conoscenza.

Copertina dell'edizione italiana (fonte: Amazon.it)

"A Doubter's Almanac" di Ethan Canin

Per una curiosa coincidenza, nei torridi giorni di agosto in cui tutte le reti sociali celebravano la meritata medaglia Fields di Alessio Figalli, ero intento a leggere questo lo strano romanzo "A doubter's almanac'' di Ethan Canin, scoperto grazie ad una recensione sui Notices AMS.

Il protagonista è Milo Andret, un giovane scontroso ed introverso che trascorre una solitaria infanzia nei boschi del Michigan settentrionale, e che è dotato di un singolare talento matematico che lo porta ad essere ammesso al prestigioso programma dottorale dell'Università di Berkley.

Nella sua tesi di dottorato Andret risolve l'immaginaria Congettura di Malosz, un difficilissimo problema topologico che eludeva gli sforzi dei matematici da decenni, e grazie a questo exploit ottiene una cattedra a Princeton, la medaglia Fields e la fama mondiale.

Spinto da un'ambizione e un egoismo pari solo al suo talento, Andret si rimette subito all'opera attaccando la (anch'essa immaginaria) Congettura di Abendroth, un problema di Topologia Algebrica ritenuto difficile quanto l'Ipotesi di Riemann. Lavorando senza sosta giorno e notte, e sostenuto solo da forti dosi di bourbon e sesso, Milo arriva vicinissimo alla meta, ma viene battuto in extremis da un giovane matematico di Palo Alto, che pubblica una soluzione prima di lui.

Questa débâcle segna di fatto la fine della carriera di Andret, che non sarà mai più matematicamente produttivo, e finirà per essere consumato dalle sue ossessioni, circondato da una famiglia disfunzionale i cui membri hanno ereditato sia il suo genio che la sua instabilità mentale.

L'autore del romanzo non è un matematico, ma ha ricevuto un dottorato in medicina ad Harvard, e la cosa si vede da alcune piccole imprecisioni tecniche che tuttavia non guastano la godibilità e l'eleganza della scrittura.

Più che la matematica in sè, comunque, il tema del libro è il rapporto fra genio e auto-distruzione, ambizione e ossessione, amore e tormento. Nulla di veramente originale, in verità, ma forse a qualcuno sarà capitato almeno una volta di pensare "Sarei disposto a distruggere la mia vita e quella di chi mi ama, in cambio della medaglia Fields?"

Souvenirs d'apprendissage

Come fare appassionare i giovani alla Matematica, materia che ha la fama (e non completamente a torto) di essere ostica, difficile? Si tratta chiaramente di una domanda senza una risposta univoca, dato che il talento matematico è con ogni probabilità una combinazione di abilità innata ed educazione ricevuta.

Molti matematici di successo hanno provato a spiegare, nella loro autobiografia scientifica, il primo approccio avuto con la materia. Si possono ricordare qui "I want to be a mathematician" di P. Halmos, "Ricordi d'apprendistato" di A. Weil, "Avventure di un matematico" di S. Ulam, "Il teorema vivente" di C. Villani, "Amore e matematica" di E. Frenkel.

Dato l'interesse del loro contenuto, ciascuno di questi libri meriterebbe un post a parte. In ognuno di essi, tuttavia, è presente ad un certo punto un episodio rivelatore, un'epifania riguardo la bellezza e potenza della Matematica, spesso indotta da un docente o da una lettura. Nel libro di Frenkel, ad esempio, l'autore narra della propria frustrazione nel cercare di capire da adolescente la teoria dell'"ottuplice via" di M. Gell-Mann (cioè, la cromodinamica quantistica) sui libri di fisica, e della gioia e sorpresa che provò il giorno in cui si rese conto (grazie ad un libro prestatogli da un professore di Matematica amico di suo padre) che tutto derivava in modo chiaro ed elegante dalla teoria delle rappresentazioni del gruppo di Lie $SU(3)$.

Personalmente, non ricordo di essere stato indirizzato verso i miei studi di Matematica da qualcuno. Di fatto, non trovavo entusiasmante nessuno dei miei professori di scuola media o superiore, e nessuno nella mia famiglia era particolarmente interessato alla disciplina. Tuttavia, nella libreria di mio zio, a casa di mia nonna materna, c'era questo libro "Enigmi e Giochi Matematici" di M. Gardner (solo il Volume 4, chissà perché) e per qualche motivo che ora non saprei dire cominciai a leggerlo, passandovi sopra ore intere. Potevo avere 11-12 anni e, per dirla con i Massimo Volume, "penso che in quel periodo la mia vita fosse tutta lì".

C'erano articoli sul paradosso dell'impiccagione imprevedibile, sul numero e, sui sezionamenti geometrici, sulle spirali, su Flatland, sulla curve ad ampiezza costante, sui giochi d'azzardo, sulle figure auto-similari, di cui ovviamente capivo ben poco. Ma erano scritti in un linguaggio chiaro e coinvolgente, che ammaliava il lettore e non lo lasciava più, lasciandogli intravvedere chissà quali territori meravigliosi da esplorare.

Per molto tempo fui anche convinto che Gardner fosse un matematico professionista, all'epoca non c'era Wikipedia a fornire ogni biografia con un click. Solo molti anni dopo, e con mia grande sorpresa, scoprì che era un abilissimo giornalista scientifico e divulgatore, con una preparazione non specialistica nella materia.

M. Gardner (fonte Wikipedia)

"Mathematical cranks" di Underwood Dudley

Molti matematici professionisti (compreso il sottoscritto) si imbattono prima o poi nella figura del "mathematical crank". Si tratta di un individuo più o meno autodidatta, ma in ogni caso con un modesto background matematico, che ricade in una delle seguenti tipologie:

• crede di aver dimostrato qualcosa di impossibile (come trisecare l'angolo, quadrare il cerchio, duplicare il cubo, ricavare il V postulato di Euclide dai primi quattro);
• crede di aver dimostrato qualcosa che non ha dimostrato (l'Ultimo Teorema di Fermat con metodi elementari, il Teorema dei Quattro Colori senza computer, l'Ipotesi di Riemann);
• ha una visione della matematica "eccentrica" o "spiritualista" (crede ad esempio in una numerologia di stampo pitagorico o cabalistico, un po' come il protagonista del film "Pi: il teorema del delirio" di D. Aronofski, oppure applica i risultati di incompletezza di Gödel alla religione, e così via). 

In ogni caso, il mathematical crank si distingue dal semplice amateur per la sua pervicacia nel non ammettere i propri errori, spesso dovuta anche alla sua incapacità di comprenderli. Il professionista che prova a confrontarsi con questa tipologia di persone si trova davanti ad un muro frustrante di difficoltà comunicativa, acuito dal fatto che molte di loro soffrono di una distorsione percettiva della realtà che li porta a sopravvalutare le proprie (limitate) abilità e a ritenersi, a torto, degli esperti. Come corollario, essi uniscono una marcata incompetenza ad una notevole supponenza (è il ben noto effetto Dunning-Kruger).

Il libro "Mathematical Cranks" (1992) di Underwood Dudley offre una gustosa, e a volte inquietante, panoramica di mathematical cranks di vario tipo. Si passa da trisettori, quadratori e duplicatori assortiti fino ad arrivare a gente che crede che nella distribuzione dei numeri primi si nasconda il segreto dell'Universo, o che vi sia una cospirazione mondiale per nascondere fantomatici algoritmi lineari in grado di risolvere ogni problema.

Una lettura interessante (ed utile per chi voglia evitare di impelagarsi in inutili discussioni), che spiega anche perché nel 1897 lo Stato dell'Indiana discusse una legge che autorizzava ad utilizzare come valore per Pi greco il numero intero $3$ (!).