Occhi azzurri e occhi neri

Non sono un grande fan degli indovinelli logici, ma ogni tanto ne incontro qualcuno che stuzzica la mia curiosità.

In particolare, sono attratto da quelli nei quali vengono proposte due soluzioni, entrambe

apparentemente senza errori, che portano a conclusioni opposte. Trovare la fallacia in una di esse (o in entrambe) permette di analizzare in modo più approfondito alcuni modi di ragionare, la cui correttezza diamo in genere per scontata, e può fornire interessanti riflessioni di tipo epistemologico.

Uno di questo tipo nel quale mi sono imbattuto di recente è il seguente, del quale esistono diverse varianti e che chiamerò qui “Occhi azzurri e occhi neri”.

In una lontana isola vive una popolazione di 200 persone, 100 con gli occhi azzurri e 100 con gli occhi neri. Parlare del colore degli occhi è tabù nell’isola, per cui ognuno conosce il colore degli occhi dei restanti 199 abitanti, ma non quello dei suoi.  In più, se per qualche motivo uno scopre il colore dei propri occhi, la religione dell’isola (che tutti seguono alla lettera) lo costringe a commettere suicidio rituale a mezzogiorno del giorno dopo. Infine, tutti gli abitanti dell’isola sono estremamente logici, nel senso che ogni conclusione che può essere tratta logicamente da alcune premesse diventa immediatamente e automaticamente patrimonio della collettività.  Un giorno, un forestiero con gli occhi azzurri arriva sull’isola e vi resta qualche tempo. Andando via, pronuncia un discorso di ringraziamento di fronte all’intera tribù e, dimenticando il tabù che vi regna, esclama “Che strano vedere qui qualcuno con gli occhi azzurri come me!”

Questa gaffe del forestiero ha conseguenze? Se si, quali?

Soluzione 1. La gaffe non ha nessuna conseguenza. Infatti, ciascuno dei 200 abitanti poteva già vedere intorno a sé persone con gli occhi azzurri (100 o 99, a seconda del colore dei suoi occhi), dunque la frase pronunciata dallo straniero non aggiunge nulla al patrimonio di conoscenza di ciascuno.

 Soluzione 2. 100 giorni dopo la gaffe, tutti gli isolani con gli occhi azzurri commettono  suicidio rituale. Il ragionamento è il seguente. Passo 1. Se vi fosse un solo isolano con gli occhi azzurri, egli vedrebbe intorno a lui solo isolani con gli occhi neri. Dunque la gaffe del forestiero gli farebbe capire immediatamente il colore dei suoi occhi, e il giorno dopo si dovrebbe suicidare. Passo 2. Immaginiamo vi siano esattamente due isolani con gli occhi azzurri, diciamo X e Y. Allora X pensa: se io non ho gli occhi azzurri, segue subito che Y è l’unico con gli occhi azzurri, dunque domani commetterà suicidio (vedi Passo 1). Ovviamente, Y ragiona in modo analogo. Visto che il giorno dopo nessuno si suicida, sia X che Y capiscono di avere gli occhi azzurri, e il giorno dopo ancora si uccidono entrambi.Per induzione, si arriva al Passo 100, cioè alla conclusione che tutti i 100 isolani con gli occhi azzurri si suicideranno dopo 100 giorni (osserviamo che, se per qualche motivo fosse noto a priori che esistono solo due colori di occhi, allora i restanti 100 isolani si suiciderebbero tutti il giorno dopo ancora, ma questo non è rilevante in questa sede).

La soluzione corretta al rompicapo è la Soluzione 2: per quanto apparentemente insignificante, la gaffe dello straniero contiene in realtà una quantità di informazione aggiuntiva sufficiente ad innescare il processo logico-deduttivo che porta, dopo 100 giorni, al suicidio di massa degli isolani con gli occhi azzurri.

La nozione tecnica rilevante qui è quella di “common knowledge” [1]: per determinare il comportamento degli isolani non è importante solo ciò che il singolo individuo conosce degli altri isolani, ma anche ciò che ogni individuo conosce rispetto alla conoscenza altrui.

Siccome che la popolazione sia formata da 200 individui non è ovviamente essenziale, supponiamo in generale che sull’isola vi siano $2n$ persone, $n$ con gli occhi azzurri e $n$ con gli occhi neri. Al giorno $0$, fino al momento immediatamente precedente la gaffe dello straniero, la common knowledge è

$(1)$ ogni isolano sa che vi sono almeno $n-1$ isolani con gli occhi azzurri.

Questa è una situazione di equilibrio, che può durare per sempre dato che, ragionando logicamente a partire da $(1)$, nessuno ha modo di conoscere il colore dei propri occhi.

Subito dopo la gaffe dello straniero, la common knowledge risulta modificata in modo radicale, tanto che tutti gli individui con gli occhi azzurri si suicidano insieme dopo n giorni.

Per comprendere come la gaffe dello straniero modifica la common knowledge, consideriamo il toy model con $n=2$, cioè $2+2$ isolani, e supponiamo che quelli con gli occhi azzurri si chiamino $X$ e $Y$.

Prima del discorso del forestiero, $X$ sa che esistono sull’isola persone con gli occhi azzurri (per via di $(1)$) ma non sa che anche $Y$ lo sa. Analogamente, $Y$ sa che esistono sull’isola persone con gli occhi azzurri, ma non sa che anche $X$ lo sa.

Immediatamente dopo la gaffe del forestiero, la common knowledge di $X$ e $Y$ risulta invece la seguente:

$(1)$ entrambi $X$ e $Y$ sanno che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri

$(2)$ $X$ sa che $Y$ sa che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri, e viceversa.

La modifica della common knowledge data da $(2)$ agisce come detonatore, innescando l’induzione e dunque il suicidio di $X$ e $Y$ dopo 2 giorni.

È importante osservare che $(2)$ non sarebbe possibile senza la gaffe dello straniero, e che è fondamentale che il discorso dello straniero sia pubblico: infatti, se lo straniero si limitasse a pronunciare la sua frase nell’orecchio di ciascun isolano dopo averlo preso in disparte, non accadrebbe nulla, dato che in tal caso non vi sarebbe alcuna variazione nella "conoscenza della conoscenza".

Il caso con $n ≥ 3$ isolani si tratta induttivamente nello stesso modo, con variazioni della common knowledge del tipo “$X$ sa che $Y$ sa che $Z$ sa che vi è almeno un isolano con gli occhi azzurri” e via discorrendo.

Questo interessante e sottile rompicapo è stato analizzato molte volte, dato che si presta a differenti interpretazioni di tipo sia logico che epistemologico. La medaglia Fields T. Tao vi ha dedicato un post [2] nel suo famoso blog, e ulteriori stimolanti discussioni si possono trovare nei thread [3] e [4].

Riferimenti.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Common_knowledge
[2] https://terrytao.wordpress.com/…/the-blue-eyed-islanders-p…/
[3] https://puzzling.stackexchange.com/…/in-the-100-blue-eyes-p…
[4] https://math.stackexchange.com/…/100-blue-eyed-isla…/490546…

Gundlagenstreit, parte II. Frosch-Mäuse Krieg

Non intendo prendere posizione in questa guerra fra rane e topi
A. Einstein (lettera a M. Born, 1928)

Il 30 ottobre 1928, C. Carathéodory rese visita a Brouwer nella sua casa a Laren, nei pressi di Amsterdam, e gli consegnò una lettera scritta da Hilbert in persona nelle quale gli veniva comunicata la sua estromissione dall'editorial board dei Mathematische Annalen, sulla base di "incompatibilità riguardo a questioni fondamentali".

Brouwer, individuo nervoso ed emotivamente instabile, non era tipo da lasciar correre quella che considerava una intollerabile offesa alla sua persona e alla sua professionalità. Dopo essersi congedato in maniera turbolenta da Carathéodory, cominciò a preparare la contromossa.

I Mathematische Annalen erano all'epoca già pubblicati da Springer, che li aveva rilevati dall'editore originale Teubner, e il frontespizio della rivista elencava due tipi di redattori: i redattori capo ("Herausgeber") D. Hilbert, A. Einstein, O. Blumenthal, C. Carathéodory e i collaboratori ("Mitarbeiter") L. Bieberbach, H. Bohr, L. E. J. Brouwer, R. Courant, W. v. Dyck, O. Hölder, T. von Karman, A. Sommerfeld. Il contratto stipulato con la casa editrice non spiegava in dettaglio la distinzione fra i due tipi di redattori, nè chiariva se un redattore capo potesse arrogarsi il diritto di licenziare un collaboratore, per cui Brouwer minacciò di portare la contesa in tribunale.

Hilbert aveva messo tutto il peso del suo prestigio e della sua autorità, che erano immensi, nella crociata contro Brouwer. Quest'ultima non era originata soltanto dalla disputa sui fondamenti, ma nasceva anche da profonde differenze personali e politiche fra i due. All'inizio le loro relazioni erano amichevoli, e Hilbert rispettava i contributi matematici di Brouwer a tal punto da offrirgli una cattedra a Gottinga (che Brouwer non accettò). Successivamente, tuttavia, Brouwer (pur essendo olandese) appoggiò le tesi del nazionalismo germanico, e giunse al punto di criticare aspramente la partecipazione della delegazione dei matematici tedeschi, guidata da Hilbert, al congresso di Bologna del 1928.

Ad Hilbert, per il quale nazionalismi e politica non dovevano avere nulla a che fare con la scienza, questo tipo di atteggiamento risultava semplicemente odioso. Inoltre, Hilbert era all'epoca malato di anemia perniciosa, e temeva che Brouwer potesse approfittare della sua debolezza fisica per impadronirsi della direzione degli Annalen. Sembra invece senza fondamento l'accusa (citata ad esempio in [R70]) secondo cui Brouwer voleva essere referee esclusivo per i lavori dei matematici olandesi spediti alla rivista, che teneva poi per anni sulla scrivania prima di formulare un giudizio.

Il maggiore alleato di Brouwer nel comitato editoriale era Bieberbach, che già molto prima dell'avvento al potere dei nazisti aveva manifestato le sue ferventi posizioni nazionaliste; ma anche Blumenthal e Carathéodory, per quanto venerassero Hilbert e non volessero contrastarlo, erano legati da sentimenti di amicizia verso Brouwer, e desideravano una soluzione della vicenda che concedesse a quest'ultimo l'onore delle armi. Essi arrivarono al punto di consigliare a Brouwer di presentare volontariamente le sue dimissioni in modo da evitare lo scandalo dell'estromissione, ma il matematico olandese fu irremovibile e ribadì che, se necessario, Hilbert e i suoi fedelissimi avrebbero dovuto rispondere al giudice delle loro azioni.

L'ago della bilancia nella contesa era Einstein: il suo prestigio scientifico e i suoi standard morali erano tali che chiunque l'avesse avuto dalla sua parte sarebbe stato quasi sicuro di vincere la partita. Nelle sue lettere private a Hilbert, Einstein afferma che Brouwer "...è, con il dovuto rispetto per la sua mente di prim'ordine, uno psicopatico" e che, dunque, "sarebbe meglio lasciarlo libero di fare il giullare", definendone l'estromissione dagli Annalen "un procedimento che non posso nè approvare nè giustificare". Pertanto, Einstein era deciso a mantenere nella faccenda la più ferma neutralità, non volendo mischiarsi in quella che, con malcelato disprezzo, chiamava "una guerra fra rane e topi" (Frosch-Mäuse Krieg).

L'impasse venne infine superata con uno stratagemma suggerito da Carathéodory: visto che Brouwer non intendeva dimettersi, e che non era chiaro se potesse essere legalmente licenziato, la soluzione migliore era sciogliere l'intero comitato editoriale e costituirne uno nuovo. La cosa era possibile da contratto, essendo giunti al Volume 100 della rivista; infatti, il Volume 101 mostra un nuovo frontespizio, nel quale compaiono solo tre redattori: D. Hilbert, O. Blumenthal e E. Hecke. Per confrontare i frontespizi dei volumi 100 e 101, si guardino i link alle rispettive versioni digitalizzate [MathAnn100] e [MathAnn101].

Apparentemente, Brouwer reagì a questa soluzione di compromesso con una certa mitezza. Per un po' continuò a lamentarsi, poi capì che la guerra era finita e che erano andati tutti a casa, e nel 1935 fondò una nuova rivista, Compositio Mathematica, ancora oggi attiva e prestigiosa. Sarebbe morto solo nel 1966, ma la sua carriera scientifica era terminata: il rinnovamento del comitato editoriale dei Mathematische Annalen sancì di fatto la fine della Grundlagenstreit.

Riferimenti:

[MathAnn100] https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0100
[MathAnn101] https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0101
[vanDalen2011] D. van Dalen: The Selected Correspondence of L.E.J. Brouwer, Springer 2011
[vanDalen2013] D. van Dalen: L.E.J. Brouwer – Topologist, Intuitionist, Philosopher, Springer 2013
[R70] C. Reid: Hilbert, Springer 1970.

Nota: Il testo [vanDalen2013] è una completa biografia di L. E. J. Brouwer, mentre [vanDalen2011] è una raccolta della sua corrispondenza privata e scientifica.

Grundlagenstreit, parte I. Formalismo e intuizionismo.

Nessuno potrà cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi
(D. Hilbert)

Nel 1899, D. Hilbert aveva pubblicato il suo fortunato libro sui fondamenti della Geometria [H99]. In esso, oltre a dare un risistemazione logica al contenuto degli Elementi di Euclide che ne correggeva le imprecisioni, egli presentava la sua visione della materia, che poteva essere racchiusa in una parola: formalismo.

“Ogni teoria può essere applicata a infiniti sistemi di enti fondamentali”, spiegava Hilbert illustrando il carattere assiomatico della nuova matematica. Per la geometria usava una battuta fortunata: “Invece di punti, rette, piani dobbiamo ugualmente poter dire tavoli, sedie, boccali di birra” [L16]. In altre parole, e in aperto contrasto con la visione platonista della disciplina, ciò che definisce una teoria non è l'"essenza" degli oggetti matematici, ma solo gli assiomi che essi soddisfano.

L'impostazione filosofica di Hilbert era ben chiara fin dai suoi primi lavori sulla teoria degli invarianti (1888), nei quali aveva dimostrato l'esistenza di un sistema finito di generatori per l'anello degli invarianti delle forme $n$-arie in un qualsiasi numero di variabili per mezzo di un procedimento puramente esistenziale e non costruttivo, che aveva incontrato (almeno all'inizio) l'opposizione dei matematici più tradizionalisti come P. Gordan e L. Kronecker. Quest'ultimo era anche un acerrimo avversario della teoria degli insiemi di Cantor e un propugnatore di una filosofia costruttivista, opposta a quella formalista di Hilbert, che era sintetizzata dalla sua famosa frase "Dio ha creato i numeri naturali, tutto il resto è opera dell'uomo". Per Kronecker, la dimostrazione per assurdo con cui Cantor aveva dimostrato che $\mathbb{R}$ non è equipotente a $\mathbb{N}$ era pura eresia.

Kronecker morì nel 1891, dunque il suo ruolo diretto nelle vicende che seguono fu marginale; tuttavia, le sua posizioni vennero adottate e sistematizzate dalla scuola intuizionista, il cui fondatore e principale apostolo fu il famoso matematico olandese L. E. J. Brouwer (1881-1966).

L.E.J. Brouwer

Giovanissimo, Brouwer aveva ottenuto fama internazionale per i suoi profondi risultati in Topologia, fra i quali il Teorema di Punto Fisso che oggi porta il suo nome, il Teorema di Invarianza della Dimensione e quello di Invarianza del Grado Topologico, che gli avevano permesso a soli 31 anni di essere eletto membro della Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences.

Brouwer raccolse il testimone di Kronecker e, con la sua filosofia intuizionista, si oppose fermamente al formalismo di Hilbert e dei suoi collaboratori P. Bernays, W. Ackermann e J. von Neumann. Semplificando al massimo, si può dire che l'intuizionismo si opponeva all'uso del principio del terzo escluso in logica ("non è possibile che due proposizioni contraddittorie siano entrambe non vere") in ogni ragionamento che coinvolgesse insiemi infiniti. In particolare, la scuola intuizionista considerava non valide le dimostrazioni non costruttive che sfruttavano la tecnica per assurdo, come ad esempio il procedimento diagonale di Cantor e la dimostrazione di Hilbert del suo Teorema della Base.

Come ci si può aspettare, le posizioni filosofiche di Brouwer vennero accolte con irritazione da Hilbert e dalla sua scuola (a parte H. Weyl, che ne fu invece affascinato, con sdegno del suo maestro). Hilbert affermò con veemenza che "impedire ad un matematico di usare il principio del terzo escluso è come impedire ad un pugile di usare i pugni", e che l'intuizionismo rischiava di privare la matematica di molti dei suoi risultati più importanti e di farla precipitare nella barbarie.

Un aneddoto famoso narra di Brouwer che, invitato a tenere un seminario a Gottinga, affermò (per dare un esempio delle posizioni intuizioniste) che non si può sapere se esiste una stringa di dieci $9$ consecutivi nello sviluppo decimale di pi greco, finché tale stringa non venga effettivamente trovata mediante il calcolo dello sviluppo stesso. Qualcuno del giro di Hilbert obiettò "Magari noi non lo possiamo sapere, ma Dio si!", al che Brouwer replicò seccamente "Non dispongo di una linea diretta con Dio" [R70].

Sia Hilbert che Brouwer avevano una forte e carismatica personalità, ed entrambi erano sinceramente convinti che dalla vittoria della loro posizione dipendessero il destino e la salvezza della Matematica. La guerra esplose nel 1928, quando Hilbert portò il conflitto sul piano personale, decidendo che le loro differenze erano tali che non potevano più lavorare insieme. Pertanto si adoperò per estromettere Brouwer dall'Editorial Board dei Mathematische Annalen, di cui lui era Managing Editor. Era il culmine della cosiddetta Grundlagenstreit, la "disputa sui fondamenti" [continua].

Riferimenti:

[H99] D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie (1899)
[L16] G. Lolli: Tavoli, sedie, boccali di birra (David Hilbert e la matematica del '900), Cortina editore (2016).
[R70] C. Reid: Hilbert, Springer (1970)

L'Ipotesi del Continuo

Nel 1874, G. Cantor aveva introdotto la sua celebre nozione di cardinalità, definendo due insiemi "equipotenti" quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra essi. Era l'inizio di un modo radicalmente nuovo di pensare l'infinito, che avrebbe rivoluzionato i fondamenti della Matematica.

Due insiemi finiti sono equipotenti se e solo se contengono lo stesso numero di elementi, in particolare nessun insieme finito è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio. Per insiemi infiniti, invece, la cosa è molto più sottile. Ad esempio, è immediato verificare che l'insieme $\mathbb{N}$ dei naturali è equipotente al sottoinsieme $2 \mathbb{N}$ dei numeri pari, tramite la funzione che associa ad ogni numero il suo doppio. Non è inoltre difficile dimostrare che $\mathbb{N}$ è anche equipotente a $\mathbb{Q}_+$, l'insieme dei numeri razionali positivi: basta enumerare questi ultimi ordinandoli in base alla somma del numeratore e denominatore come segue: $$\frac{1}{1}, \, \frac{1}{2}, \, \frac{2}{1}, \, \frac{1}{3}, \, \frac{2}{2}, \, \frac{3}{1}, \, \frac{1}{4}, \,   \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \, \frac{4}{1}, \cdots$$ Una semplice modifica di questa procedura mostra inoltre che $\mathbb{N}$ è equipotente a $\mathbb{Q}$, l'insieme di tutti i numeri razionali.

Al contrario, non è possibile mettere in corrispondenza biunivoca $\mathbb{N}$ con $\mathbb{R}$, l'insieme dei numeri reali. Per dimostrare questo fatto, Cantor utilizzò un metodo di dimostrazione per assurdo noto come procedimento diagonale. L'idea è quella di associare ad ogni numero reale il suo sviluppo decimale: allora, se i reali potessero essere numerati in una lista, potremmo scegliere un numero reale $r$ la cui prima cifra decimale è diversa dalla prima cifra del primo numero della lista, la seconda cifra decimale è diversa dalla seconda cifra del secondo numero e così via. Ciò implica che $r$ non è contenuto nella lista, contraddizione.

La domanda che ora sorge naturale, e che è il contenuto del primo problema presentato da D. Hilbert al congresso di Parigi del 1900, è la seguente:

Esiste un insieme la cui cardinalità sia strettamente compresa fra quella di $\mathbb{N}$ e quella di $\mathbb{R}$, cioè fra il "numerabile" e il "continuo"?

Il problema (o meglio la congettura che tale insieme non esistesse) divenne noto come Ipotesi del Continuo, e si guadagnò subito lo status di fondamentale questione aperta della Teoria degli Insiemi. Lo stesso Cantor comprese la sua importanza e vi lavorò a lungo, senza risultati.

La prima risposta parziale venne ottenuta nel 1940 da K. Gödel, il logico viennese che sette anni prima aveva stupito la comunità matematica con i suoi celebri Teoremi di Incompletezza. Egli dimostrò che, restringendosi ad una particolare classe di insiemi noti come "insiemi costruibili", si ottiene una teoria che verifica gli assiomi di Zermelo-Fraenkel e l'Assioma di Scelta (ZFC) e nella quale è anche valida l'Ipotesi del Continuo, deducendo che quest'ultima è consistente con ZFC. In altre parole, l'Ipotesi del Continuo non può essere confutata in ZFC, che è l'assiomatizzazione "standard" della teoria degli insiemi.

Il (difficile) passo successivo venne compiuto nel 1963 da P. Cohen. Quest'ultimo sviluppò una particolare tecnica dimostrativa, detta forcing, che permette di allargare la classe degli insiemi costruibili ad una classe più ampia, verificante ZFC ma non l'Ipotesi del Continuo. Come conseguenza, segue che

L'Ipotesi del Continuo non è dimostrabile in ZFC, e utilizzando il precedente risultato di Gödel si deduce quindi che essa è indecidibile in ZFC.

P. Cohen (fonte: Wikipedia)

Per questa sua spettacolare scoperta, Cohen ottenne la medaglia Fields al Congresso Internazionale di Mosca del 1966. Nel 2006, poco prima della sua morte, egli tenne una conferenza a Vienna in occasione dei cento anni dalla nascita di Gödel, nella quale descrisse la sua soluzione al problema del continuo. Il video della conferenza è disponibile online su YouTube.

Riferimenti:

https://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

http://mathworld.wolfram.com/ContinuumHypothesis.html

P. J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 50, 1143-1148, 1963.

K. Gödel: The Consistency of the Continuum-Hypothesis. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1940.

P. Odifreddi: La matematica del Novecento. Einaudi, 2000