L'Ipotesi del Continuo

Nel 1874, G. Cantor aveva introdotto la sua celebre nozione di cardinalità, definendo due insiemi "equipotenti" quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra essi. Era l'inizio di un modo radicalmente nuovo di pensare l'infinito, che avrebbe rivoluzionato i fondamenti della Matematica.

Due insiemi finiti sono equipotenti se e solo se contengono lo stesso numero di elementi, in particolare nessun insieme finito è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio. Per insiemi infiniti, invece, la cosa è molto più sottile. Ad esempio, è immediato verificare che l'insieme $\mathbb{N}$ dei naturali è equipotente al sottoinsieme $2 \mathbb{N}$ dei numeri pari, tramite la funzione che associa ad ogni numero il suo doppio. Non è inoltre difficile dimostrare che $\mathbb{N}$ è anche equipotente a $\mathbb{Q}_+$, l'insieme dei numeri razionali positivi: basta enumerare questi ultimi ordinandoli in base alla somma del numeratore e denominatore come segue: $$\frac{1}{1}, \, \frac{1}{2}, \, \frac{2}{1}, \, \frac{1}{3}, \, \frac{2}{2}, \, \frac{3}{1}, \, \frac{1}{4}, \,   \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \, \frac{4}{1}, \cdots$$ Una semplice modifica di questa procedura mostra inoltre che $\mathbb{N}$ è equipotente a $\mathbb{Q}$, l'insieme di tutti i numeri razionali.

Al contrario, non è possibile mettere in corrispondenza biunivoca $\mathbb{N}$ con $\mathbb{R}$, l'insieme dei numeri reali. Per dimostrare questo fatto, Cantor utilizzò un metodo di dimostrazione per assurdo noto come procedimento diagonale. L'idea è quella di associare ad ogni numero reale il suo sviluppo decimale: allora, se i reali potessero essere numerati in una lista, potremmo scegliere un numero reale $r$ la cui prima cifra decimale è diversa dalla prima cifra del primo numero della lista, la seconda cifra decimale è diversa dalla seconda cifra del secondo numero e così via. Ciò implica che $r$ non è contenuto nella lista, contraddizione.

La domanda che ora sorge naturale, e che è il contenuto del primo problema presentato da D. Hilbert al congresso di Parigi del 1900, è la seguente:

Esiste un insieme la cui cardinalità sia strettamente compresa fra quella di $\mathbb{N}$ e quella di $\mathbb{R}$, cioè fra il "numerabile" e il "continuo"?

Il problema (o meglio la congettura che tale insieme non esistesse) divenne noto come Ipotesi del Continuo, e si guadagnò subito lo status di fondamentale questione aperta della Teoria degli Insiemi. Lo stesso Cantor comprese la sua importanza e vi lavorò a lungo, senza risultati.

La prima risposta parziale venne ottenuta nel 1940 da K. Gödel, il logico viennese che sette anni prima aveva stupito la comunità matematica con i suoi celebri Teoremi di Incompletezza. Egli dimostrò che, restringendosi ad una particolare classe di insiemi noti come "insiemi costruibili", si ottiene una teoria che verifica gli assiomi di Zermelo-Fraenkel e l'Assioma di Scelta (ZFC) e nella quale è anche valida l'Ipotesi del Continuo, deducendo che quest'ultima è consistente con ZFC. In altre parole, l'Ipotesi del Continuo non può essere confutata in ZFC, che è l'assiomatizzazione "standard" della teoria degli insiemi.

Il (difficile) passo successivo venne compiuto nel 1963 da P. Cohen. Quest'ultimo sviluppò una particolare tecnica dimostrativa, detta forcing, che permette di allargare la classe degli insiemi costruibili ad una classe più ampia, verificante ZFC ma non l'Ipotesi del Continuo. Come conseguenza, segue che

L'Ipotesi del Continuo non è dimostrabile in ZFC, e utilizzando il precedente risultato di Gödel si deduce quindi che essa è indecidibile in ZFC.

P. Cohen (fonte: Wikipedia)

Per questa sua spettacolare scoperta, Cohen ottenne la medaglia Fields al Congresso Internazionale di Mosca del 1966. Nel 2006, poco prima della sua morte, egli tenne una conferenza a Vienna in occasione dei cento anni dalla nascita di Gödel, nella quale descrisse la sua soluzione al problema del continuo. Il video della conferenza è disponibile online su YouTube.

Riferimenti:

https://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

http://mathworld.wolfram.com/ContinuumHypothesis.html

P. J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 50, 1143-1148, 1963.

K. Gödel: The Consistency of the Continuum-Hypothesis. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1940.

P. Odifreddi: La matematica del Novecento. Einaudi, 2000