(N. J. Fine)
Nel 1845, J. Bertrand propose, verificandola sperimentalmente fino al valore $n=3000000$, la seguente congettura, che da allora divenne nota come
Postulato di Bertrand. Dato un numero naturale $n >1$, esiste sempre un numero primo $p$ tale che $n < p < 2n$.Un immediato corollario è che il gap tra un numero primo e il successivo è minore del doppio del primo stesso; in altre parole, se $\{p_n\}$ indica la successione dei primi, si ha $p_{n+1} < 2p_n$. Un'altra interessante conseguenza è che la successione $\mathbb{P}$ formata da 1 e dai numeri primi è una "successione completa", nel senso che ogni numero naturale può scriversi come somma di elementi di $\mathbb{P}$, usando ogni elemento al più una sola volta.
Il Postulato di Bertrand può essere derivato dal Teorema dei Numeri Primi (TNP), osservando che, siccome $\log x$ è asintotico a $\log 2x$, allora il numero dei primi fra $1$ e $2n$ è asintoticamente il doppio del numero dei primi fra $1$ ed $n$, dunque il numero dei primi fra $n$ e $2n$ va asintoticamente come $2n/2 \log n=n/ \log n$, cioè vi sono in realtà molti più primi fra $n$ e $2n$ da quanto previsto dal Postulato. Tuttavia, quest'ultimo è un risultato molto meno difficile da dimostrare rispetto a TNP, e inoltre ha il suo interesse storico in quanto venne provato prima di esso. Il numero esatto di primi fra $n$ e $2n$ è tabulato nella successione OEIS A060715.
La prima dimostrazione del Postulato di Bertrand venne fornita nel 1852 da P. L. Chebyshev (la prima dimostrazione di TNP è del 1896), utilizzando metodi di Teoria Analitica dei Numeri [5]. Da allora il risultato è anche conosciuto come Teorema di Bertrand-Chebyshev. La dimostrazione di Chebyshev venne successivamente semplificata da S. Ramanujan, che fornì un argomento di una pagina basato su alcune proprietà della funzione Gamma, vedi [3].
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| P. L. Chebyshev (fonte: Wikipedia) |
Nel 1932, nel suo primo articolo pubblicato (all'età di 19 anni) P. Erdős diede la prima dimostrazione elementare del Postulato di Bertrand. Qui "elementare" va inteso nel senso della Teoria dei Numeri, dove il termine non vuol dire "semplice", ma piuttosto "che non utilizza strumenti al di là dell'aritmetica".
Di fatto, la dimostrazione di Erdős è piuttosto sofisticata, e si basa su una stima accurata dell'esponente con cui un primo $p$ divide il coefficiente binomiale $\binom{2n}{n}$. Tale stima permette di mostrare che, se non esistessero primi fra $n$ e $2n$, allora tale coefficiente crescerebbe asintoticamente meno di quanto atteso, giungendo ad una contraddizione per $n>4000$.
I dettagli possono essere trovati in [2] e nel bel libro [4], che raccoglie una serie di dimostrazioni brevi e particolarmente eleganti, nello stile amato da Erdős. Quest'ultimo pensava infatti che esistesse un Libro nel quale Dio aveva raccolto le dimostrazioni più belle, e che fosse compito dei matematici (ri)scoprirle. In realtà Erdős non era religioso, e a chi gli chiedeva se credesse in Dio soleva rispondere "You don't have to believe in God, but you should believe in The Book."
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| P. Erdős (fonte: Wikipedia) |
Il paradosso di Bertrand è stato nel corso del tempo generalizzato in varie direzioni. Ad esempio, oggi si sa che esiste sempre un primo fra $2n$ e $3n$ (M. El Bachraoui, 2006) e che esiste sempre un primo fra $3n$ e $4n$ (D. Hanson, 1973). Inoltre, è anche noto che quando $n$ tende all'infinito anche il numero di primi fra $3n$ e $4n$ tende all'infinito (A. Loo, 2011).
Un problema collegato è quello di determinare il minimo esponente $r$ tale che esista sempre un primo fra $n$ e $n+O(n^r)$, per $n$ sufficientemente grande. Il Postulato di Bertrand implica che $r$ è al più $1$, e il miglior risultato oggi disponibile è $r \leq 6/11$ (Lou-Yao, 1992).
E' interessante notare che problemi in apparenza simili al Postulato di Bertrand sono ancora oggi (2018) irrisolti. Ad esempio, non è noto se esista sempre un numero primo fra $n^2$ e $(n+1)^2$; si pensa che la risposta sia affermativa, e questa è nota come congettura di Legendre.
Riferimenti:
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate
[2] https://en.wikipedia.org/wi…/Proof_of_Bertrand%27s_postulate
[3] http://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html
[4] M. Aigner, G. M. Ziegler, K. H. Hofmann: Proofs from THE BOOK, Fourth edition, Springer, 2009. ISBN 978-3-642-00855-9.
[5] P. L. Chebychev. Mémoire sur les nombres premiers. Journal de mathématiques pures et appliquées, Sér. 1, 366-390 (1852). (Proof of the postulate: 371-382)
[6] S. Ramanujan "A Proof of Bertrand's Postulate." J. Indian Math. Soc. 11, 181-182 (1919).
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