Il Problema di Burnside

Un gruppo $G$ si dice "periodico" se ogni elemento di $G$ ha ordine finito, cioè se per ogni $g \in G$ esiste $n=n(g)$ tale che $g^n=1$. Chiaramente ogni gruppo finito è periodico, ma il viceversa non è vero: un controesempio è il gruppo di Prüfer $\mathbb{Z}(p^{\infty})$, ossia il sottogruppo di $\mathbb{C}^{\ast}$ formato da tutte le radici $n$-esime dell'unità, al variare di $n \in \mathbb{N}$.

È facile vedere che il gruppo di Prüfer non può essere finitamente generato. Nel 1902, W. Burnside pose la seguente domanda, che era destinata a diventare uno dei problemi più importanti e fecondi della Teoria dei Gruppi:

Problema generale di Burnside. Sia $G$ un gruppo finitamente generato e periodico. È vero che $G$ è finito?

La risposta risultò essere negativa: infatti, nel 1964 Golod e Shafarevich costruirono un controesempio, ossia un gruppo infinito, finitamente generato e periodico. Più precisamente, essi dimostrarono che per ogni primo $p$ esiste un gruppo infinito con tre generatori in cui ogni elemento ha ordine una potenza di $p$. Tuttavia, in tale controesempio l'ordine di $g \in G$ non può essere uniformemente limitato.

Il controesempio descritto sopra portò a considerare una versione più debole del problema, in cui l'ordine di $g \in G$ è limitato da una costante fissata $n$, ossia $g^n=1$ con $n$ indipendente da $g$. Un tale gruppo è detto "gruppo di esponente $n$". Chiaramente, avere esponente finito implica essere periodico, ma il viceversa non è vero (il gruppo di Prüfer o quelli di Golod-Shafarevich forniscono controesempi). Si può dunque enunciare il

Problema di Burnside I. Sia $G$ un gruppo finitamente generato e di esponente finito. È vero che $G$ è finito?

Questo problema può essere riformulato in modo da considerare una particolare classe di gruppi finitamente generati, i cosiddetti gruppi di Burnside. Se $F_r$ è il gruppo libero su $r$ generatori e $n$ è un numero naturale fissato, definiamo il gruppo di Burnside $B(r, \, n)$ come il quoziente di $F_r$ per le infinite relazioni $\{x^n=1, \, x \in  F_r\}$.

È un esercizio standard di teoria dei gruppi verificare che ogni gruppo con $r$ generatori ed esponente $n$ è un'immagine omomorfa di $B(r, \ n)$, per cui possiamo riformulare il nostro problema come segue:

Problema di Burnside II. Per quali coppie $(r, \, n)$ il gruppo di Burnside $B(r, \, n)$ è finito?

La risposta generale a questo problema non è nota. Nel suo lavoro originale, Burnside notò che $B(1,\, n)$ è il gruppo ciclico di ordine $n$, mentre $B(r, \, 2)$ è il prodotto di $r$ copie di $\mathbb{Z}_2$, quindi in entrambi i casi si ottengono gruppi finiti. Più avanti, venne dimostrato che $B(r, \, 3)$, $B(r, \, 4)$ e $B(r, \, 6)$ sono gruppi finiti per ogni valore di $r$. Ad esempio, $B(r, \,3)$  è isomorfo al gruppo di Heisenberg sul campo con tre elementi, in particolare ha ordine $27$.

Si noti che al momento (2018) non si sa se $B(2, \, 5)$ sia un gruppo finito.

I primi controesempi al Problema di Burnside I vennero forniti da Novikov e Adian nel 1968: essi mostrarono che, per $n$ dispari e maggiore di $4381$, esistono gruppi di Burnside infiniti. Il bound sull'esponente venne poi abbassato da Adian a $665$. Per quanto riguarda il caso di esponente pari, che risultò notevolmente più difficile da trattare, i primi controesempi vennero forniti da S. V. Ivanov nel 1992: egli dimostrò che, per ogni $r >1$ e $n> 2^48$ e divisibile per $2^9$, il gruppo $B(r,\, n)$ è infinito.

Una importante variante del Problema di Burnside è il cosiddetto

Problema di Burnside ristretto. Sia $G$ un gruppo finito con $r$ generatori ed esponente $n$ (ad esempio, un gruppo finito della forma $B(r, \, n)$). È vero che l'ordine di $G$ può essere limitato da una costante che dipende solo da $r, \, n$?

In questo caso la risposta è affermativa, come dimostrato da E. Zelmanov nel 1991. Per questo suo importante risultato, a Zelmanov venne assegnata la medaglia Fields nel 1994.


Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_problem

[2] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/H…/Burnside_problem.html

[3] http://mathworld.wolfram.com/BurnsideProblem.html