Grundlagenstreit, parte I. Formalismo e intuizionismo.

Nessuno potrà cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi
(D. Hilbert)

Nel 1899, D. Hilbert aveva pubblicato il suo fortunato libro sui fondamenti della Geometria [H99]. In esso, oltre a dare un risistemazione logica al contenuto degli Elementi di Euclide che ne correggeva le imprecisioni, egli presentava la sua visione della materia, che poteva essere racchiusa in una parola: formalismo.

“Ogni teoria può essere applicata a infiniti sistemi di enti fondamentali”, spiegava Hilbert illustrando il carattere assiomatico della nuova matematica. Per la geometria usava una battuta fortunata: “Invece di punti, rette, piani dobbiamo ugualmente poter dire tavoli, sedie, boccali di birra” [L16]. In altre parole, e in aperto contrasto con la visione platonista della disciplina, ciò che definisce una teoria non è l'"essenza" degli oggetti matematici, ma solo gli assiomi che essi soddisfano.

L'impostazione filosofica di Hilbert era ben chiara fin dai suoi primi lavori sulla teoria degli invarianti (1888), nei quali aveva dimostrato l'esistenza di un sistema finito di generatori per l'anello degli invarianti delle forme $n$-arie in un qualsiasi numero di variabili per mezzo di un procedimento puramente esistenziale e non costruttivo, che aveva incontrato (almeno all'inizio) l'opposizione dei matematici più tradizionalisti come P. Gordan e L. Kronecker. Quest'ultimo era anche un acerrimo avversario della teoria degli insiemi di Cantor e un propugnatore di una filosofia costruttivista, opposta a quella formalista di Hilbert, che era sintetizzata dalla sua famosa frase "Dio ha creato i numeri naturali, tutto il resto è opera dell'uomo". Per Kronecker, la dimostrazione per assurdo con cui Cantor aveva dimostrato che $\mathbb{R}$ non è equipotente a $\mathbb{N}$ era pura eresia.

Kronecker morì nel 1891, dunque il suo ruolo diretto nelle vicende che seguono fu marginale; tuttavia, le sua posizioni vennero adottate e sistematizzate dalla scuola intuizionista, il cui fondatore e principale apostolo fu il famoso matematico olandese L. E. J. Brouwer (1881-1966).

L.E.J. Brouwer

Giovanissimo, Brouwer aveva ottenuto fama internazionale per i suoi profondi risultati in Topologia, fra i quali il Teorema di Punto Fisso che oggi porta il suo nome, il Teorema di Invarianza della Dimensione e quello di Invarianza del Grado Topologico, che gli avevano permesso a soli 31 anni di essere eletto membro della Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences.

Brouwer raccolse il testimone di Kronecker e, con la sua filosofia intuizionista, si oppose fermamente al formalismo di Hilbert e dei suoi collaboratori P. Bernays, W. Ackermann e J. von Neumann. Semplificando al massimo, si può dire che l'intuizionismo si opponeva all'uso del principio del terzo escluso in logica ("non è possibile che due proposizioni contraddittorie siano entrambe non vere") in ogni ragionamento che coinvolgesse insiemi infiniti. In particolare, la scuola intuizionista considerava non valide le dimostrazioni non costruttive che sfruttavano la tecnica per assurdo, come ad esempio il procedimento diagonale di Cantor e la dimostrazione di Hilbert del suo Teorema della Base.

Come ci si può aspettare, le posizioni filosofiche di Brouwer vennero accolte con irritazione da Hilbert e dalla sua scuola (a parte H. Weyl, che ne fu invece affascinato, con sdegno del suo maestro). Hilbert affermò con veemenza che "impedire ad un matematico di usare il principio del terzo escluso è come impedire ad un pugile di usare i pugni", e che l'intuizionismo rischiava di privare la matematica di molti dei suoi risultati più importanti e di farla precipitare nella barbarie.

Un aneddoto famoso narra di Brouwer che, invitato a tenere un seminario a Gottinga, affermò (per dare un esempio delle posizioni intuizioniste) che non si può sapere se esiste una stringa di dieci $9$ consecutivi nello sviluppo decimale di pi greco, finché tale stringa non venga effettivamente trovata mediante il calcolo dello sviluppo stesso. Qualcuno del giro di Hilbert obiettò "Magari noi non lo possiamo sapere, ma Dio si!", al che Brouwer replicò seccamente "Non dispongo di una linea diretta con Dio" [R70].

Sia Hilbert che Brouwer avevano una forte e carismatica personalità, ed entrambi erano sinceramente convinti che dalla vittoria della loro posizione dipendessero il destino e la salvezza della Matematica. La guerra esplose nel 1928, quando Hilbert portò il conflitto sul piano personale, decidendo che le loro differenze erano tali che non potevano più lavorare insieme. Pertanto si adoperò per estromettere Brouwer dall'Editorial Board dei Mathematische Annalen, di cui lui era Managing Editor. Era il culmine della cosiddetta Grundlagenstreit, la "disputa sui fondamenti" [continua].

Riferimenti:

[H99] D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie (1899)
[L16] G. Lolli: Tavoli, sedie, boccali di birra (David Hilbert e la matematica del '900), Cortina editore (2016).
[R70] C. Reid: Hilbert, Springer (1970)