La bottiglia di Klein

Three jolly sailors from Blaydon-on-Tyne
They went to sea in a bottle by Klein.
Since the sea was entirely inside the hull
The scenery seen was exceedingly dull.

Se si identificano a due a due e nella stessa direzione i lati opposti di un quadrato si ottiene un toro. Se una delle due coppie di lati viene identificata in senso opposto, si ottiene invece una superficie compatta e senza bordo che indichiamo con $K$ ed è nota come Bottiglia di Klein ("Kleinsche Flasche", in tedesco), dal nome del matematico Felix Klein che per primo la descrisse nel 1882.
Esplicitamente, la bottiglia di Klein è quindi lo spazio di identificazione ottenuto dal quadrato $[-1, 1] \times  [-1, 1]$ tramite la relazione d'equivalenza $(-1,  \, y) \simeq (1, y)$ e $(x, \, -1) \simeq (-x, \, 1)$.

La bottiglia di Klein costruita come spazio di identificazione

Al contrario del toro e come il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein è una superficie non orientabile. Tuttavia, contrariamente al nastro di Moebius, non è possibile immergere la bottiglia di Klein in $\mathbb{R}^3$ (ma è possibile immergerla in $\mathbb{R}^4$). Infatti, ogni realizzazione della bottiglia di Klein in $\mathbb{R}^3$ ha autointersezioni: la superficie è senza bordo ma ad una sola faccia, di modo che non ha senso parlare di "interno" ed "esterno" per essa.
Quindi una nave a forma di bottiglia di Klein non sarebbe molto utile per attraversare il mare, in quanto esso sarebbe contemporaneamente "fuori e dentro" lo scafo (come sperimentato dai tre allegri marinai di Blaydon-on-Tyne del celebre limerick citato sopra).

Una applicazione standard del Teorema di Seifert-Van Kampen mostra che il gruppo fondamentale $\pi_1(K)$ ha due generatori $a, \, b$ soggetti all'unica relazione $aba^{-1}b=1$, dunque si tratta del prodotto semidiretto di due copie di $\mathbb{Z}$ (scritte in notazione moltiplicativa) associato all'automorfismo $b \mapsto b^{-1}$. In particolare esso è infinito e non abeliano.

Quozientando per il sottogruppo dei commutatori si ottiene il gruppo generato da $a,\, b$ con l'unica relazione $b^2 = 1$, e ciò implica che $H_1(K, \, \mathbb{Z})$ è isomorfo al prodotto diretto $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$. Quindi $K$ fornisce un semplice esempio di spazio topologico con gruppo fondamentale non abeliano e avente torsione nel primo gruppo di omologia.

Il sottogruppo $G$ generato da $b, \,a^2$ ha indice $2$ in $\pi_1(K)$, dunque esso corrisponde ad un rivestimento topologico di grado $2$ della bottiglia di Klein. Osserviamo che $ab=(b^{-1})a$ implica $a(b^{-1})=ba$, pertanto
$$a^2b = a(ab) = a(b^{-1})a = baa= ba^2.$$ Ciò vuol dire che $G$ è un gruppo libero abeliano con due generatori, dunque isomorfo a $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, che è il gruppo fondamentale del toro $T = S^1 \times S^1$.

Il rivestimento doppio $T \to  K$ determinato algebricamente come sopra si può interpretare geometricamente osservando che affiancando due domini fondamentali speculari di una bottiglia di Klein si ottiene il dominio fondamentale di un toro. Questa costruzione mostra anche che il rivestimento universale di $K$ coincide con quello di $T$, cioè è omeomorfo al piano $\mathbb{R}^2$.

Anche se la bottiglia di Klein non ha né interno né esterno, è in realtà possibile bere da essa (o meglio da un suo modello con auto-intersezione in $\mathbb{R}^3$). Modelli di tazze costruite a partire da bottiglie di Klein si trovano ad esempio qui.

Modello di bottiglia di Klein realizzata in vetro soffiato (fonte: ACME Klein bottle)