Una curva di Jordan è l'immagine di un'applicazione continua ed iniettiva della circonferenza $S^1$ in $\mathbb{R}^2$. Si può essere tentati di pensare una tale curva come un laccio chiuso, continuo e senza autointersezioni nel piano. Tuttavia, bisogna tenere presente che la definizione data sopra richiede solo la continuità della curva, non la differenziabilità, quindi in essa sono compresi anche oggetti frattali complicati come la curva di Koch (o "curva del fiocco di neve") che non ammettono derivata in nessun punto.
Il teorema della curva di Jordan afferma che
Si tratta di un enunciato intuitivo ma la cui dimostrazione si è rivelata difficoltosa, anche per via dell'esistenza di curve "patologiche" come quella di Koch. Infatti, la dimostrazione data dallo stesso C. Jordan nel 1887 all'interno del suo famoso Course d'Analyse venne ritenuta insoddisfacente, e la prima dimostrazione che rispetta i moderni canoni di rigore è considerata quella fornita da O. Veblen nel 1905.
I trattamenti forniti nei libri di testo moderni utilizzano in genere i metodi della Topologia Algebrica, in particolare quelli omologici, che permettono di dimostrare anche l'analogo del teorema di Jordan in ogni dimensione, ovvero quello che si chiama il Teorema di Separazione dello Spazio.
Esso afferma che ogni immersione topologica della sfera $n$-dimensionale $S^n$ in $R^{n+1}$ identifica due componenti connesse, una limitata (l'"interno") e l'altra illimitata (l'"esterno"), tali che l'immagine di S^n costituisca la loro frontiera comune.
Un'altra generalizzazione del teorema della Curva di Jordan, detto Teorema di di Jordan–Schönflies, afferma che ogni curva di Jordan in $\mathbb{R}^2$ è equivalente all'immersione standard di $S^1$, cioè alla curva $x^2+y^2=1$, per mezzo di un omeomorfismo del piano.
Abbastanza sorprendentemente, e al contrario del teorema della Curva di Jordan, questo enunciato non ammette estensioni in dimensione superiore. Infatti esiste un'immersione patologica di $S^2$ in $\mathbb{R}^3$ (la cosiddetta "Alexander horned sphere", 1924) tale che il suo complementare non è una regione semplicemente connessa. Ciò implica che la costruzione di Alexander non può essere equivalente all'immersione standard di $S^2$ per mezzo di un omeomorfismo dello spazio, in quanto il complementare di $S^2$ in $\mathbb{R}^3$ è semplicemente connesso.
E' importante notare che l'immersione che fornisce la sfera di Alexander è solo continua, ma non differenziabile. Lo stesso Alexander dimostrò che il Teorema di di Jordan–Schönflies continua a valere in dimensione 3 se si considerano solo immersioni lisce (o lineari a tratti). Storicamente, questa fu una delle prime circostanze in cui venne notata la profonda differenza che intercorre fra il concetto di varietà topologica e quello di varietà differenziabile.
Il teorema della curva di Jordan afferma che
ogni curva di Jordan $C$ divide il piano in due regioni connesse, una delle quali è limitata (l'"interno" della curva) e l'altra è illimitata (l'"esterno"), tali che $C$ sia frontiera per entrambe le componenti.
Si tratta di un enunciato intuitivo ma la cui dimostrazione si è rivelata difficoltosa, anche per via dell'esistenza di curve "patologiche" come quella di Koch. Infatti, la dimostrazione data dallo stesso C. Jordan nel 1887 all'interno del suo famoso Course d'Analyse venne ritenuta insoddisfacente, e la prima dimostrazione che rispetta i moderni canoni di rigore è considerata quella fornita da O. Veblen nel 1905.
I trattamenti forniti nei libri di testo moderni utilizzano in genere i metodi della Topologia Algebrica, in particolare quelli omologici, che permettono di dimostrare anche l'analogo del teorema di Jordan in ogni dimensione, ovvero quello che si chiama il Teorema di Separazione dello Spazio.
Esso afferma che ogni immersione topologica della sfera $n$-dimensionale $S^n$ in $R^{n+1}$ identifica due componenti connesse, una limitata (l'"interno") e l'altra illimitata (l'"esterno"), tali che l'immagine di S^n costituisca la loro frontiera comune.
Un'altra generalizzazione del teorema della Curva di Jordan, detto Teorema di di Jordan–Schönflies, afferma che ogni curva di Jordan in $\mathbb{R}^2$ è equivalente all'immersione standard di $S^1$, cioè alla curva $x^2+y^2=1$, per mezzo di un omeomorfismo del piano.
Abbastanza sorprendentemente, e al contrario del teorema della Curva di Jordan, questo enunciato non ammette estensioni in dimensione superiore. Infatti esiste un'immersione patologica di $S^2$ in $\mathbb{R}^3$ (la cosiddetta "Alexander horned sphere", 1924) tale che il suo complementare non è una regione semplicemente connessa. Ciò implica che la costruzione di Alexander non può essere equivalente all'immersione standard di $S^2$ per mezzo di un omeomorfismo dello spazio, in quanto il complementare di $S^2$ in $\mathbb{R}^3$ è semplicemente connesso.
E' importante notare che l'immersione che fornisce la sfera di Alexander è solo continua, ma non differenziabile. Lo stesso Alexander dimostrò che il Teorema di di Jordan–Schönflies continua a valere in dimensione 3 se si considerano solo immersioni lisce (o lineari a tratti). Storicamente, questa fu una delle prime circostanze in cui venne notata la profonda differenza che intercorre fra il concetto di varietà topologica e quello di varietà differenziabile.
Molto interessante. Forse fondamentale per una base di partenza agganciata a qualcosa di intuitivamente concepibile anche per i non addetti ai lavori, ma dotati di uno spiccato senso di "curiosità" verso i risultati geometrici direttamente applicabili anche allo spazio (o agli spazi) in cui si svolge la vita e la realtà prende forma.
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