Il 17-mo Problema di Hilbert

Consideriamo un polinomio $f(x_1, \ldots, x_n)$ a coefficienti reali in $n $ indeterminate, ossia un elemento dell'anello $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$. Esso è detto "semi-definito positivo'' se $f(a_1, \ldots, a_n) \geq 0$ per ogni scelta di numeri reali $a_1, \ldots, a_n$.

Un esempio immediato di polinomio semi-definito positivo è un polinomio che si esprime come somma di quadrati di polinomi, ossia un polinomio $f$ della forma $$f=(f_1)^2+ \ldots +(f_k)^2.$$ È naturale chiedersi se questa sia la sola possibilità, e infatti tale domanda è (quasi) il contenuto del 17-mo problema presentato da Hilbert al Congresso Internazionale di Parigi.

(Hilbert, 1900): E' vero che ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$ è somma di quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$?

Si noti che l'enunciato richiede che il polinomio sia somma di quadrati di funzioni razionali, e non, come sembrerebbe più naturale, di quadrati di polinomi. Il motivo è che, già nel 1888, Hilbert era stato in grado di dimostrare che, sostituendo il campo delle funzioni razionali $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$ con l'anello polinomiale $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$, la risposta al problema è necessariamente negativa. Tuttavia, la dimostrazione di Hilbert era puramente esistenziale, e non forniva alcun controesempio esplicito.

Il primo controesempio di tale tipo venne infatti fornito da Motzkin (e riconosciuto come tale da Taussky-Todd) più di 80 anni dopo:

(Motzkin, Taussky-Todd 1967): Il polinomio
$$1+x_1^2 x_2^4+ x_1^4 x_2^2-3x_1^2 x_2^2$$ è semi-definito positivo, ma non può essere scritto come somma di quadrati di polinomi in $\mathbb{R}[x_1, \, x_2]$.

Riguardo il 17-mo Problema di Hilbert, la questione è stata risolta in senso positivo da E. Artin:

(Artin, 1927): Ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$ è somma di quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$.

La dimostrazione originale di Artin è basata sulla teoria dei campi ordinati da lui sviluppata insieme a Schreier. Successivamente, usando tecniche completamente differenti, Pfister fu in grado di dimostrare un risultato più forte che fornisce anche un limite superiore al numero di funzioni razionali necessarie per scrivere f come somma di quadrati:

(Pfister, 1967): Ogni polinomio semi-definito positivo in $\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$è somma di al più $2^n$ quadrati in $\mathbb{R}(x_1, \ldots, x_n)$.

Ci si può chiedere se il limite superiore di Pfister è ottimale, ossia se per ogni $n$ esiste un polinomio semi-definito positivo che non si può scrivere come somma di quadrati di $2^n-1$ funzioni razionali. Si sa che la risposta è affermativa quando $n=1$ (dato che $1+x_1^2$ non è un quadrato) e per $n=2$ (infatti, si dimostra che il polinomio di Motskin non è somma di tre quadrati in $\mathbb{R}[x_1, \, x_2]$).
Per $n \geq 3$, invece, il problema è completamente aperto.

Una chiara e dettagliata introduzione al 17-mo problema di Hilbert può trovarsi nell'ottimo survey di O. Benoist "Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares", che è stato fonte di ispirazione per questo post.