Pochi temi di matematica ricreativa sono noti nella cultura popolare al pari dei quadrati magici. Come tutti sanno, un quadrato magico di ordine $n$ consiste nel disporre i numeri da $1$ a $n^2$ in una griglia quadrata $n \times n$, in modo tale che la somma dei numeri su ogni riga, colonna e diagonale del quadrato sia costante. Un semplice calcolo mostra che tale costante, detta costante magica del quadrato, è $(n^3+n)/2$.
Esistono quadrati magici di ogni ordine maggiore di $2$. Inoltre, dato un quadrato magico, è possibile crearne altri $7$ facendo agire su di esso il gruppo di simmetrie del quadrato, cioè il gruppo diedrale di ordine $8$, e due quadrati magici ottenuti in tal modo (cioè tali che si possa passare dall'uno all'altro per mezzo di una successione finita di rotazioni e riflessioni) sono considerati equivalenti.
Il numero di quadrati magici di ordine n, escludendo rotazioni e riflessioni, cresce rapidamente con l'ordine: per $n = 3, \, 4, \, 5$ si hanno $1, \, 880, \, 275305224$ quadrati magici distinti. Il numero preciso di quadrati magici di ordine 6 non è noto, ma è stimato essere dell'ordine di $1.8 \times 10^{19}$.
Lo studio dei quadrati magici si perde nella notte dei tempi. L'unico quadrato magico di ordine $3$ era già noto ai cinesi nel $600$ A.C., e da essi chiamato lo-shu. Esso è legato a molte leggende, ed è tradizionalmente usato come amuleto. Analogamente, quadrati magici di ordine 4 erano già noti ad arabi e indiani (uno di essi è ad esempio raffigurato nel tempio di Parshvanath) ma la rappresentazione più famosa di un tale quadrato, almeno nell'ambito dell'arte occidentale, è probabilmente quella contenuta nell'incisione Melencholia I di A. Dürer (1514).
Si tratta di un'opera dal ricco simbolismo, mai completamente spiegato, anche se la maggior parte degli storici dell'arte vede in essa l'allegoria dello stato d'animo depresso del pensatore incapace di passare all'azione. Ciò è in accordo con gli strumenti scientifici e di carpenteria che giacciono inutilizzati ai piedi della figura meditabonda, mentre una sfera e un tetraedro (curiosamente troncato) sembrano suggerire che ogni applicazione pratica si fonda su una base matematica.
Il quadrato magico rappresentato in Melancholia I ha una simmetria aggiuntiva, in quanto ogni numero sommato al numero simmetricamente opposto rispetto al centro dà $17$. Un metodo incredibilmente semplice per scrivere un quadrato magico di questo tipo è il seguente: si scrivano in ordine i numeri da $1$ a $16$ in una griglia quadrata, e poi si invertano le due diagonali rispetto al centro. Il quadrato di Dürer è costruito in questo modo, con in più lo scambio delle due colonne intermedie in modo che al centro del lato in basso del quadrato si legga $1514$, l'anno in cui l'incisione fu realizzata.
Un tipo di quadrato magico ancora più stupefacente di quello simmetrico è il quadrato magico "diabolico", ("panmagic square", in inglese) ossia quello che è magico anche rispetto alle "diagonali spezzate", cioè le diagonali "ricostruibili" accostando due quadrati identici uno rispetto all'altro: per dare un'idea, nel caso di ordine $4$ le celle $2$, $12$, $15$, $5$ formano una diagonale spezzata. I quadrati magici diabolici esistono per tutti i valori di $n$ superiori a $3$, salvo che per quelli divisibili per $2$ ma non per $4$. Ad esempio, non ve n'è nessuno di ordine $6$.
Il numero di quadrati magici diabolici di un dato ordine è molto più basso di quello complessivo di tutti i quadrati magici: ad esempio, a meno di rotazioni e riflessioni vi sono solo $48$ quadrati diabolici di ordine $4$ e $3600$ di ordine $5$ (sequenza OEIS A027567).
Riferimenti:
[1] M.Gardner: Enigmi e Giochi Matematici, vol. 2
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square
Esistono quadrati magici di ogni ordine maggiore di $2$. Inoltre, dato un quadrato magico, è possibile crearne altri $7$ facendo agire su di esso il gruppo di simmetrie del quadrato, cioè il gruppo diedrale di ordine $8$, e due quadrati magici ottenuti in tal modo (cioè tali che si possa passare dall'uno all'altro per mezzo di una successione finita di rotazioni e riflessioni) sono considerati equivalenti.
Il numero di quadrati magici di ordine n, escludendo rotazioni e riflessioni, cresce rapidamente con l'ordine: per $n = 3, \, 4, \, 5$ si hanno $1, \, 880, \, 275305224$ quadrati magici distinti. Il numero preciso di quadrati magici di ordine 6 non è noto, ma è stimato essere dell'ordine di $1.8 \times 10^{19}$.
Lo studio dei quadrati magici si perde nella notte dei tempi. L'unico quadrato magico di ordine $3$ era già noto ai cinesi nel $600$ A.C., e da essi chiamato lo-shu. Esso è legato a molte leggende, ed è tradizionalmente usato come amuleto. Analogamente, quadrati magici di ordine 4 erano già noti ad arabi e indiani (uno di essi è ad esempio raffigurato nel tempio di Parshvanath) ma la rappresentazione più famosa di un tale quadrato, almeno nell'ambito dell'arte occidentale, è probabilmente quella contenuta nell'incisione Melencholia I di A. Dürer (1514).
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| Melencholia I |
Si tratta di un'opera dal ricco simbolismo, mai completamente spiegato, anche se la maggior parte degli storici dell'arte vede in essa l'allegoria dello stato d'animo depresso del pensatore incapace di passare all'azione. Ciò è in accordo con gli strumenti scientifici e di carpenteria che giacciono inutilizzati ai piedi della figura meditabonda, mentre una sfera e un tetraedro (curiosamente troncato) sembrano suggerire che ogni applicazione pratica si fonda su una base matematica.
Il quadrato magico rappresentato in Melancholia I ha una simmetria aggiuntiva, in quanto ogni numero sommato al numero simmetricamente opposto rispetto al centro dà $17$. Un metodo incredibilmente semplice per scrivere un quadrato magico di questo tipo è il seguente: si scrivano in ordine i numeri da $1$ a $16$ in una griglia quadrata, e poi si invertano le due diagonali rispetto al centro. Il quadrato di Dürer è costruito in questo modo, con in più lo scambio delle due colonne intermedie in modo che al centro del lato in basso del quadrato si legga $1514$, l'anno in cui l'incisione fu realizzata.
Un tipo di quadrato magico ancora più stupefacente di quello simmetrico è il quadrato magico "diabolico", ("panmagic square", in inglese) ossia quello che è magico anche rispetto alle "diagonali spezzate", cioè le diagonali "ricostruibili" accostando due quadrati identici uno rispetto all'altro: per dare un'idea, nel caso di ordine $4$ le celle $2$, $12$, $15$, $5$ formano una diagonale spezzata. I quadrati magici diabolici esistono per tutti i valori di $n$ superiori a $3$, salvo che per quelli divisibili per $2$ ma non per $4$. Ad esempio, non ve n'è nessuno di ordine $6$.
Il numero di quadrati magici diabolici di un dato ordine è molto più basso di quello complessivo di tutti i quadrati magici: ad esempio, a meno di rotazioni e riflessioni vi sono solo $48$ quadrati diabolici di ordine $4$ e $3600$ di ordine $5$ (sequenza OEIS A027567).
Riferimenti:
[1] M.Gardner: Enigmi e Giochi Matematici, vol. 2
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square
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