Il teorema dell'Esagramma Mistico di Pascal

Il seguente notevole risultato venne scoperto nel 1639 dall'allora sedicenne matematico e filosofo francese Blaise Pascal (1623-1662):

Teorema. Si considerino nel piano proiettivo una conica $C$ e un esagono $X$ i cui vertici giacciono su $C$. Allora le tre coppie di rette che individuano lati opposti di $X$ si incontrano in tre punti che giacciono su una retta, detta la "retta di Pascal" dell'esagono $X$.

Esagono inscritto in una conica. La retta di Pascal è quella tratteggiata

Dati sei punti $\{P_1, \ldots, P_6\}$ non ordinati su una conica, essi possono essere congiunti per formare un esagono in $60$ modi distinti, e di conseguenza esistono $60$ rette di Pascal; l'insieme di tali rette è detto l'Esagramma Mistico relativo a $\{P_1, \ldots, P_6\}$, e per tale motivo il teorema di Pascal è anche detto teorema dell'Esagramma Mistico.

Il teorema di Pascal può essere visto come una generalizzazione del classico teorema di Pappo: infatti, quest'ultimo si ottiene nel caso limite in cui la conica $C$ degenera nell'unione $L_1+L_2$ di due rette. Si noti inoltre che è possibile dare un enunciato del teorema di Pascal anche nel piano affine, trattando opportunamente i casi in cui una o più coppie di rette diventino parallele; ad esempio, se due coppie di lati opposti definiscono rette parallele, allora lo stesso vale per tutte e tre le coppie di lati opposti, e non esiste nessuna retta di Pascal affine (in tal caso la retta di Pascal è la retta all'infinito).

L'inverso del teorema di Pascal è detto teorema di Braikenridge e Maclaurin:

Se le tre coppie di rette definite dai lati opposti di un esagono $X$ si incontrano in tre punti allineati, allora i vertici $\{P_1, \ldots, P_6\}$ di $X$ giacciono su una conica $C$ (che può essere degenere). Variando il sesto punto $P_6$, ciò permette di dare una costruzione proiettiva della conica determinata dai cinque punti $\{P_1, \ldots, P_5\}$.

Esistono numerose dimostrazioni del teorema di Pascal, sia sintetiche che analitiche. Qui ci limitiamo ad esporne una che si trova spesso nei testi introduttivi di Geometria Algebrica.

Dimostrazione. Siano $P_1, \,  P_2, \ldots, P_6$ i sei vertici ordinati dell'esagono $X$, e siano $l_1$,  $l_2$, $l_3$ le rette dei lati $P_1P_2$, $P_3P_4$, $P_5P_6$ e $m_1$, $m_2$, $m_3$ le rette dei lati $P_2P_3$, $P_4P_5$, $P_6P_1$. Sia $f$ la forma cubica $l_1l_2l_3$ e $g$ la forma cubica $m_1m_2m_3$, e si scelga uno scalare $\lambda$ tale che la forma cubica $f+\lambda g$ si annulli su un ulteriore punto $P$ di $C$ (che per semplicità consideriamo irriducibile, ma la dimostrazione può essere adattata anche nel caso di $C$ riducibile). Allora la cubica piana $D$ definita da $f+\lambda g=0$ e la conica $C$ hanno almeno sette punti in comune, dunque per il teorema di Bézout esse devono avere in comune una intera componente. Ciò vuol dire che $D$ si spezza nell'unione della conica $C$ e di una retta $L$, che risulta essere la retta di Pascal di $X$.

$\square$

Il teorema di Pascal può essere anche ottenuto come una conseguenza del teorema di Cayley-Bacharach per le cubiche piane: si veda il corrispondente articolo Wikipedia per ulteriori dettagli sull'argomento.