Definizione.Una curva di ampiezza costante è una curva piana convessa tale che la distanza fra due coppie qualsiasi di rette di supporto parallele è indipendente dalle rette scelte. Tale distanza è appunto chiamata l'ampiezza della curva.Intuitivamente, una curva di ampiezza costante è quindi una curva tale che può "essere fatta rotolare" fra due rette parallele senza alterarne la distanza. Un esempio immediato è la circonferenza: in tal caso vi è una sola retta di supporto in ogni punto (la retta tangente) e due rette di supporto sono parallele solo se i corrispondenti punti sono antipodali; pertanto la circonferenza ha ampiezza costante, pari al diametro. Questo è uno dei motivi per cui le ruote hanno forma circolare: se la loro forma fosse una curva di ampiezza non costante (ad esempio, un'ellisse) una piattaforma che si spostasse su di esse oscillerebbe su e giù durante il movimento.
Esistono curve di ampiezza costante diverse dalla circonferenza? Sorprendentemente, la risposta è affermativa, e l'esempio più famoso è dato dal cosiddetto triangolo di Rouleaux, così chiamato in onore del matematico e ingegnere F. Rouleaux (1829-1905), che insegnò alla Reale Scuola tecnica Superiore di Berlino. Esso si ottiene partendo da un triangolo equilatero e centrando col compasso in ciascuno dei vertici in modo da costruire tre archi di circonferenza che congiungono gli altri due vertici.
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| Il Triangolo di Rouleaux (il bordo della regione in giallo) è una curva ad ampiezza costante. |
Come la circonferenza e ogni altra curva di ampiezza costante, il Triangolo di Rouleaux ruota esattamente all'interno di un quadrato (di lato pari all'ampiezza), mantenendosi in contatto con tutti e quattro i vertici durante la rotazione. Questa proprietà è stata sfruttata in ingegneria in modo sorprendente: nel 1914, H. J. Watts brevettò una punta per trapano, basata sul triangolo di Rouleaux, in grado di produrre fori quadrati!
Il trangolo di Rouleaux possiede molte altre interessanti proprietà. Una delle più importanti è che essa è la curva di ampiezza costante che ha la minima area per un'ampiezza data (questo è noto come teorema di Blaschke-Lebesgue); si noti che la diseguaglianza isoperimetrica implica che la curva di ampiezza costante che massimizza l'area è invece la circonferenza.
Il Triangolo di Rouleaux presenta tre punti angolosi nei vertici del triangolo equilatero di partenza; tali punti possono essere tuttavia "allisciati", ottendendo una curva di ampiezza costante e di classe $C^1$. Inoltre, è possibile costruire "poligoni di Rouleaux" partendo da poligoni regolari con più di tre lati: si ottengono in tal modo curve di ampiezza costante il cui gruppo di simmetria è il gruppo diedrale del poligono di partenza. Curiosamente, le monete britanniche da 20p e 50p sono eptagoni di Rouleaux.
Ancora più sorprendente del triangolo di Rouleaux è l'esistenza di curve di ampiezza costante asimmetriche. Una loro costruzione è spiegata nel bell'articolo di M. Gardner [Gard]. Gardner nota anche, opportunamente, che l'esistenza di simili curve impedisce che si possa verificare la circolarità della chiglia di un natante (ad esempio, di un sottomarino) controllando esclusivamente l'ampiezza in ogni suo punto: una chiglia potrebbe essere infatti mostruosamante sbilenca e superare tuttavia tale controllo. Per questo motivo, il controllo di circolarità viene effettuato applicando opportuni profili sagomati.
Esistono anche curve di ampiezza costante algebriche, cioè definite da un'equazione polinomiale della forma $f(x, \, y)=0$. Un esempio è presentato in [Rab] e la corrispondente equazione (di grado $8$) può essere trovata nella pagina Wikipedia dedicata all'argomento.
Riferimenti:
[Gard] M. Gardner: Curve di Ampiezza Costante, in Enigmi e Giochi Matematici, Vol. 4
[Rab] S. Rabinowitz: A Polynomial Curve of Constant Width, Missouri Journal of Mathematical Sciences 9 (1997), 23–27.
Il trangolo di Rouleaux possiede molte altre interessanti proprietà. Una delle più importanti è che essa è la curva di ampiezza costante che ha la minima area per un'ampiezza data (questo è noto come teorema di Blaschke-Lebesgue); si noti che la diseguaglianza isoperimetrica implica che la curva di ampiezza costante che massimizza l'area è invece la circonferenza.
Il Triangolo di Rouleaux presenta tre punti angolosi nei vertici del triangolo equilatero di partenza; tali punti possono essere tuttavia "allisciati", ottendendo una curva di ampiezza costante e di classe $C^1$. Inoltre, è possibile costruire "poligoni di Rouleaux" partendo da poligoni regolari con più di tre lati: si ottengono in tal modo curve di ampiezza costante il cui gruppo di simmetria è il gruppo diedrale del poligono di partenza. Curiosamente, le monete britanniche da 20p e 50p sono eptagoni di Rouleaux.
Ancora più sorprendente del triangolo di Rouleaux è l'esistenza di curve di ampiezza costante asimmetriche. Una loro costruzione è spiegata nel bell'articolo di M. Gardner [Gard]. Gardner nota anche, opportunamente, che l'esistenza di simili curve impedisce che si possa verificare la circolarità della chiglia di un natante (ad esempio, di un sottomarino) controllando esclusivamente l'ampiezza in ogni suo punto: una chiglia potrebbe essere infatti mostruosamante sbilenca e superare tuttavia tale controllo. Per questo motivo, il controllo di circolarità viene effettuato applicando opportuni profili sagomati.
Esistono anche curve di ampiezza costante algebriche, cioè definite da un'equazione polinomiale della forma $f(x, \, y)=0$. Un esempio è presentato in [Rab] e la corrispondente equazione (di grado $8$) può essere trovata nella pagina Wikipedia dedicata all'argomento.
Riferimenti:
[Gard] M. Gardner: Curve di Ampiezza Costante, in Enigmi e Giochi Matematici, Vol. 4
[Rab] S. Rabinowitz: A Polynomial Curve of Constant Width, Missouri Journal of Mathematical Sciences 9 (1997), 23–27.
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