Il teorema di invarianza del dominio

Se $m$ ed $n$ sono due interi positivi, allora non è difficile dimostrare che $\mathbb{R}^m$ e $\mathbb{R}^n$ sono diffeomorfi se e solo se $m=n$. Infatti, un diffeomorfismo induce un isomorfismo lineare fra gli spazi tangenti, e due spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

La questione diventa molto più sottile quando si passa dalla categoria differenziale a quella topologica. Chiaramente, $\mathbb{R}$ non è omeomorfo a $\mathbb{R}^n$ se $n>1$, per il semplice fatto che un punto sconnette $\mathbb{R}$ ma non $\mathbb{R}^n$; ma cosa si può dire nel caso generale?

Non si può sperare di adattare l'argomento precedente utilizzando sottospazi lineari di dimensione maggiore di zero. Infatti, è senz'altro vero (ad esempio) che una retta sconnette $\mathbb{R}^2$ ma non $\mathbb{R}^n$ con $n>2$; tuttavia, l'immagine di una retta tramite un'applicazione di classe $C^0$ ma non $C^1$ può essere un oggetto ben diverso da una retta, addirittura una curva di tipo Peano che riempie tutto lo spazio. Di fatto, la presenza di tali applicazioni continue "patologiche" è l'ostacolo essenziale ad una trattazione "elementare" del problema.

La questione venne risolta dal matematico olandese L.E.J. Brouwer, che, nel 1912, pubblicò [1] la prima dimostrazione completa di quello è oggi conosciuto come

Teorema di invarianza del dominio. Gli spazi topologici $\mathbb{R}^m$ e $\mathbb{R}^n$ sono omeomorfi se e solo se $m=n$.

La dimostrazione di Brouwer fa uso del teorema di punto fisso che oggi porta il suo nome; invece, nei moderni libri di testo (vedi ad esempio [2, Theorem 2.26]), si trova in genere la seguente dimostrazione che fa uso dell'omologia singolare.

Dimostrazione. Se $\mathbb{R}^m$ e $\mathbb{R}^n$ sono omeomorfi, allora lo stesso vale per gli spazi $\mathbb{R}^m$ meno un punto e $\mathbb{R}^n$ meno un punto, che si retraggono rispettivamente su $S^{m-1}$ e $S^{n-1}.$ Siccome la sfera $S^k$ ha omologia non banale solo in gradi $0$ e $k$, e i gruppi di omologia sono invarianti omotopici, segue $m-1=n-1$, cioè $m=n$.

$\square$

Si possono dare dimostrazioni analoghe usando invarianti topologici, diversi dall'omologia, che distinguano sfere di dimensioni differenti: ad esempio la coomologia (il cui comportamento sulle sfere, via dualità di Poincaré, è analogo a quello dell'omologia) o i gruppi di omotopia superiore (per i quali $\pi_i(S^k)=0$ se $i <k$, mentre $\pi_k(S^k)=\mathbb{Z}$).

A volte, in letteratura, con Teorema di Invarianza del Dominio si indica il seguente risultato, da cui quello enunciato sopra scaturisce come semplice conseguenza (vedi [3]):

Teorema. Se $U$ è un aperto non vuoto di $\mathbb{R}^n$ e $f \colon U \to \mathbb{R}^n$ è una mappa continua e iniettiva, allora $V=f(U)$ è aperto e la restrizione $f \colon U \to V$ è un omeomorfismo.

Dal punto di vista storico, questa è la versione da cui il risultato prende il suo nome, dato che, classicamente, il termine "dominio" indicava un aperto connesso di $\mathbb{R}^n$. Una dimostrazione, basata su tecniche omologiche standard, può essere trovata in [2, Theorem 2B.3].

Riferimenti:

[1] L. E. J. Brouwer: Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), p. 305–315; vedi anche Mathematische Annalen 72 (1912), p. 55–56.
[2] A. Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press (2009).
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain