La categoria PL delle varietà lineari a tratti sta quindi in mezzo fra quella TOP delle varietà topologiche e quella DIFF delle varietà differenziabili. È importante notare che le funzioni lineari a tratti sono di classe $C^0$ ma non $C^1$, dato che è ben noto che la categoria delle varietà $C^1$ è equivalente a DIFF (cioè, che ogni atlante di classe $C^1$ è equivalente ad uno liscio).
Inoltre, le inclusioni DIFF $\subset$ PL $\subset$ TOP sono entrambe strette.
Infatti, ricordiamo innanzitutto che ogni varietà differenziabile ammette una struttura PL (per via di un teorema di Whitehead [W40], che afferma che ogni varietà liscia è triangolabile), ma non vale il viceversa. In altre parole, vi sono varietà PL che non ammettono nessun atlante di classe $C^{\infty}$ (cioè, che non sono "allisciabili"). Il primo esempio di questo tipo venne costruito da M. Kervaire in [K60]: si tratta di una varietà PL di dimensione 10, ottenuta con una tecnica di topologia differenziale detta "plumbing" a partire dai fibrati tangenti di due 5-sfere; in suo onore, varietà di questo tipo vengono oggi chiamate varietà di Kervaire.
Inoltre, esistono varietà topologiche che non possiedono nessuna strutture PL, ed altre che ne possiedono infinite.
Storicamente, il problema della triangolabilità delle varietà topologiche è noto come "Hauptvermutung". La triangolabilità delle varietà di dimensione 2 è stata dimostrata da T. Radó nel 1920, e quella delle varietà di dimensione 3 da E. Moise nel 1950. Quindi i primi controesempi possono presentarsi solo da dimensione 4 in poi.
Oggi si sa che, per una varietà topologica $M$, l'ostruzione a possedere una struttura PL è data dalla classe di Kirby-Siebermann $$k(M) \in H^4(M, \, \mathbb{Z}_2).$$ Se $\dim(M) \geq 5$ e $M$ è compatta, allora esiste una struttura PL su $M$ se e solo se $k(M)=0,$ e in questo caso il numero di strutture PL differenti è parametrizzato da $H^3(M, \, \mathbb{Z}_2)$, in particolare esse sono in numero al più finito.
In dimensione $4$ le cose sono radicalmente differenti: in tal caso la categoria PL coincide con la categoria DIFF, ed esistono $4$-varietà topologiche compatte e semplicemente connesse che possiedono infinite strutture PL distinte (S. Donaldson).
Inoltre, M. Friedman trovò nel 1982 l'esempio noto come varietà E8, una 4-varietà topologica compatta e semplicemente connessa che non solo non ammette nessuna struttura PL, ma addirittura non è neanche omeomorfa ad un complesso simpliciale. Esempi con la stessa proprietà, in ogni dimensione maggiore o uguale a $5$, sono stati costruiti più recentemente da C. Manolescu in [Ma16].
Riferimenti:
[K60] M. Kervaire: A manifold which does not admit any differentiable structure, Comm. Math. Helv. 34 (1960), 257–270.
Oggi si sa che, per una varietà topologica $M$, l'ostruzione a possedere una struttura PL è data dalla classe di Kirby-Siebermann $$k(M) \in H^4(M, \, \mathbb{Z}_2).$$ Se $\dim(M) \geq 5$ e $M$ è compatta, allora esiste una struttura PL su $M$ se e solo se $k(M)=0,$ e in questo caso il numero di strutture PL differenti è parametrizzato da $H^3(M, \, \mathbb{Z}_2)$, in particolare esse sono in numero al più finito.
In dimensione $4$ le cose sono radicalmente differenti: in tal caso la categoria PL coincide con la categoria DIFF, ed esistono $4$-varietà topologiche compatte e semplicemente connesse che possiedono infinite strutture PL distinte (S. Donaldson).
Inoltre, M. Friedman trovò nel 1982 l'esempio noto come varietà E8, una 4-varietà topologica compatta e semplicemente connessa che non solo non ammette nessuna struttura PL, ma addirittura non è neanche omeomorfa ad un complesso simpliciale. Esempi con la stessa proprietà, in ogni dimensione maggiore o uguale a $5$, sono stati costruiti più recentemente da C. Manolescu in [Ma16].
Riferimenti:
[K60] M. Kervaire: A manifold which does not admit any differentiable structure, Comm. Math. Helv. 34 (1960), 257–270.
[Ma16 ] C. Manolescu: $\mathrm{Pin}(2)$-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture, Journal of the American Mathematical Society 29 (2016), 147 -176.
[W40] J. H. C. Whitehead: On $C^1$-Complexes, Annals of Mathematics. Second Series. 41 (4) (1940), 809–824.
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