Suddivisione di un cerchio

Si considerino $n$ punti sul bordo di un cerchio $C$. Qual è il numero massimo di regioni in cui si può suddividere $C$ se si uniscono i punti a due a due con linee rette? 

Per $1, \,2, \,3, \,4, \, 5$ punti si trova facilmente, lavorando un po' con carta e penna, che tale numero è rispettivamente pari a $$1, \, 2, \, 4, \, 8, \,16.$$ Si sarebbe tentati di credere che questa semplice serie di raddoppi continui, e che il numero massimo di regioni sia in ogni caso $2^{n-1}$. Sorprendentemente, questa intuizione si rivela fallace: per $n=6$ si ottiene un numero massimo di regioni pari a $31$ invece che a $32$, come mostra la figura seguente (tratta da [G81]).

Infatti, la formula corretta per il massimo numero di suddivisioni è $$n + \binom{n}{4} + \binom{n-1} {2},$$ i cui valori sono tabulati nella successione OEIS A000127. Tale numero coincide con il numero massimo di regioni in cui lo spazio 4-dimensionale $\mathbb{R}^4$ può essere suddiviso da $n-1$ iperpiani.

Riferimenti

[G81] M. Gardner: Circo Matematico (Sansoni 1981), pp. 203-204.