Una semplice dimostrazione della diseguaglianza $e^{\pi} > {\pi}^e$.

Dalla formula di Taylor abbiamo $e^{x} >1+x$ per ogni $x>0$. Preso $x=\pi/e−1$, si ottiene $e^{\pi/e−1} > \pi/e$. Moltiplicando per $e$, si ricava $e^{\pi/e} > \pi$. Infine, elevando ad $e$, si ha la diseguaglianza voluta.

Infatti $e^{\pi} ≃ 23,14$, mentre $\pi^e ≃  22,46$.