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01 maggio 2021

Azioni di gruppo senza punti fissi su una palla chiusa

Consideriamo un gruppo finito G che agisce come gruppo di omeomorfismi sulla palla chiusa \mathbb{D}^n \subset \mathbb{R}^n. È vero che esiste sempre un punto fisso comune, ossia un punto x \in \mathbb{D}^n tale che g⋅x=x per ogni g \in G?

La risposta è affermativa quando G è un gruppo ciclico. Infatti, detto g un generatore di G, l'omeomorfismo g⋅  \colon \mathbb{D}^n \to \mathbb{D}^n ha un punto fisso per il Teorema di Brouwer, e tale punto fisso è anche punto fisso per ogni elemento del tipo g^n.

In generale, invece, la risposta è negativa: anche se Brouwer garantisce l'esistenza di un punto fisso per ogni elemento g \in G, tale punto dipende da g e, senza ulteriori ipotesi, non si può stabilire l'esistenza di un punto fisso comune.

Un esempio esplicito di azione senza punti fissi comuni del gruppo alterno A_5 su una n-cella è costruito in [1]. Leggendo il lavoro, si vede che la n-cella (omeomorfa a \mathbb{D}^n) è costruita in modo combinatorio immergendo un certo complesso simpliciale semplicemente connesso in un opportuno spazio euclideo. Mi sembra che, sviluppando i dettagli, si dovrebbe poter ricavare un valore esplicito di n.

In effetti, A_5 è il gruppo di minimo ordine che può agire senza punti fissi comuni su una palla chiusa: ciò è dimostrato in [2], per mezzo del teorema dell'indice di Lefschetz.

Per ulteriori informazioni su questo interessante problema, il lettore può consultare il thread su MathOverflow [3].

Riferimenti.

[1] E. E. Floyd, R. W. Richardson: An action of a finite group on an n-cell without stationary points, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 65, Number 2 (1959), 73-76.
[2] R. Parris: Finite groups without fixed-point-free actions on a disk, Michigan Math. J. Volume 20, Issue 4 (1974), 349-351.

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