Consideriamo un gruppo finito $G$ che agisce come gruppo di omeomorfismi sulla palla chiusa $\mathbb{D}^n \subset \mathbb{R}^n$. È vero che esiste sempre un punto fisso comune, ossia un punto $x \in \mathbb{D}^n$ tale che $g⋅x=x$ per ogni $g \in G$?
La risposta è affermativa quando $G$ è un gruppo ciclico. Infatti, detto $g$ un generatore di $G$, l'omeomorfismo $g⋅ \colon \mathbb{D}^n \to \mathbb{D}^n$ ha un punto fisso per il Teorema di Brouwer, e tale punto fisso è anche punto fisso per ogni elemento del tipo $g^n$.
In generale, invece, la risposta è negativa: anche se Brouwer garantisce l'esistenza di un punto fisso per ogni elemento $g \in G$, tale punto dipende da $g$ e, senza ulteriori ipotesi, non si può stabilire l'esistenza di un punto fisso comune.
Un esempio esplicito di azione senza punti fissi comuni del gruppo alterno $A_5$ su una $n$-cella è costruito in [1]. Leggendo il lavoro, si vede che la $n$-cella (omeomorfa a $\mathbb{D}^n$) è costruita in modo combinatorio immergendo un certo complesso simpliciale semplicemente connesso in un opportuno spazio euclideo. Mi sembra che, sviluppando i dettagli, si dovrebbe poter ricavare un valore esplicito di $n$.
In effetti, $A_5$ è il gruppo di minimo ordine che può agire senza punti fissi comuni su una palla chiusa: ciò è dimostrato in [2], per mezzo del teorema dell'indice di Lefschetz.
Per ulteriori informazioni su questo interessante problema, il lettore può consultare il thread su MathOverflow [3].
Riferimenti.
[1] E. E. Floyd, R. W. Richardson: An action of a finite group on an n-cell without stationary points, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 65, Number 2 (1959), 73-76.
[2] R. Parris: Finite groups without fixed-point-free actions on a disk, Michigan Math. J. Volume 20, Issue 4 (1974), 349-351.
Nessun commento:
Posta un commento