Monotonìa di funzioni differenziabili

Un noto risultato di Analisi 1 afferma che, se una funzione differenziabile $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ soddisfa $f'>0$ nell'intorno di un punto, allora essa è crescente in tale intorno.
Un'interpretazione errata (e piuttosto diffusa) di questo teorema è che, se $f'(a)>0$, allora $f$ è crescente in un intorno di $a$. La cosa è vera se $f'$ è continua (dato che in tal caso, per permanenza del segno, $f'$ è positiva in un intorno di $a$) ma è falsa in generale.

Un classico controesempio è fornito dalla funzione $$f(x)=x^2 \sin \frac{1}{x}+x, \quad f(0)=0,$$ che  verifica $f'(0)=1$ ma non è monotona in nessun intorno di $0$.

Patologie come questa illustrano bene la differenza fra funzioni differenziabili e funzioni di classe $C^1$ (cioè, differenziabili con derivata continua).