La classificazione dei gruppi semplici finiti

Es wäre von dem grössten Interesse, wenn eine Uebersicht des sämmtlichen einfachen Gruppen von einer endlichen Zahl von Operationen gegeben werden könnte. 
(Sarebbe del massimo interesse, se fosse possibile dare una classificazione di tutti i gruppi semplici di ordine finito). [4, p. 1]


Un gruppo è detto semplice se non possiede sottogruppi normali non banali. Per il teorema di Jordan–Hölder sulle serie di composizione, i gruppi semplici finiti possono essere visti come "blocchi elementari" che permettono di costruire per estensioni successive tutti i gruppi finiti, pertanto la loro classificazione costituisce un problema centrale nella teoria.

Un esempio banale di gruppo semplice finito è dato dai gruppi ciclici $\mathbb{Z}_p$ di ordine primo. Un esempio più sofisticato è fornito dai gruppi alterni $A_n$, con $n \geq 5$; di fatto, la semplicità di $A_n$ è alla base della moderna dimostrazione del teorema di Abel-Ruffini sulla non-risolubilità per radicali della generica equazione algebrica di grado almeno $5$.

Il problema (enormemente difficile) della classificazione dei gruppi semplici finiti è anche noto come Programma di Gorenstein, per via dei due fondamentali lavori scritti da D. Gorenstein negli anni 1982-83 che risolvevano quasi completamente la questione, lasciando aperti alcuni casi (i cosiddetti "quasithin groups") che vennero trattati successivamente da Aschbacher e Smith (2004, 2011). Il risultato finale è il seguente, vedi [1]:

Teorema. Se $G$ è un gruppo semplice finito, allora siamo in uno dei seguenti casi:

(1) $G$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_p$ per un dato primo $p$;
(2) $G$ è isomorfo ad $A_n$ per un dato $n \geq 5$;
(3) $G$ è un gruppo finito di tipo Lie;
(4) $G$ è isomorfo ad uno dei cosiddetti $27$ gruppi sporadici.

Nei casi (1), (2), (3) si hanno famiglie infinite di gruppi; invece, ogni gruppo sporadico in (4) è unico a meno di isomorfismi.

Il più piccolo gruppo sporadico, di ordine 7920, venne scoperto da E. L. Mathieu nel 1861, ed in suo onore è oggi indicato con M11. Il gruppo sporadico più grande è invece il cosiddetto "Fischer-Griess monster" M, costruito (a mano!) nel R. Griess nel 1982 e il cui ordine è pari a $$ 808017424794512875886459904961710757005754368000000000.$$ Come stimolante lettura divulgativa sulla storia dei gruppi sporadici e dei loro scopritori il lettore può consultare [2].

La dimostrazione completa del Teorema di Classificazione dei gruppi semplici finiti richiede diverse migliaia di pagine, ed è basata sui numerosi articoli scritti nel corso di circa 100 anni da matematici come Mathieu, Janko, Conway, Fisher, Higma, Suzuki, Feit, Thompson, Griess, Aschbacher, Gorenstein, etc.

A partire dal 1985, gli sforzi dei teorici dei gruppi sono concentrati sulla cosiddetta "Dimostrazione di seconda generazione", che si propone di semplificare gli argomenti, eliminando ogni ridondanza ed usando tecniche più moderne e generali che permettano di trattare vari casi contemporaneamente.

Alcune parti della dimostrazione sono state anche verificate al computer tramite il linguaggio Coq; un esempio è il fondamentale e difficile teorema di Feit-Thompson ("Ogni gruppo finito di ordine dispari è risolubile"), verificato da G. Gonthier e i suoi collaboratori nel 2013, vedi [3].

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups
[2] M. Ronan: Il mostro e la simmetria, Cortina Editore 2007.
[3] G. Gonthier et al.: A Machine-Checked Proof of the Odd Order Theorem, Lecture Notes in Computer Sciences 7998 (2013), https://doi.org/10.1007/978-3-642-39634-2_14.
[4] O Holder: Die einfachen Gruppen in ersten und Zweiten Hundert der Ordnungszahlen, Mathematische Annalen 40 (1892), 55-88.