L'irrazionalità di $\pi$

È ben noto che $\pi$ è un numero irrazionale, ossia che non può essere scritto come quoziente di due interi. 

La prima dimostrazione di questo fatto fu data da J. H. Lambert nel 1761, per mezzo di uno sviluppo in frazione continua della funzione tangente. 

Un argomento differente venne fornito nel 1873 da C. Hermite, il quale fece vedere che $\pi^2$ è irrazionale utilizzando un ingegnoso argomento per assurdo basato sul calcolo integrale e sulla caratterizzazione di $\pi$ come la più piccola soluzione positiva dell'equazione $\cos \frac{x}{2}=0$. 

Oggi esistono decine di dimostrazioni dell'irrazionalità di $\pi$, alcune delle quali accessibili anche agli studenti degli ultimi anni di scuola superiore. Una delle più semplici è probabilmente la seguente, dovuta a I. Niven [N47].

Teorema. Il numero $\pi$ è irrazionale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che $\pi=a/b$, con $a$, $b$ interi positivi. Preso un arbitrario numero naturale $n,$ consideriamo i seguenti polinomi:
\begin{equation*}
\begin{split}
f(x) & = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!} \\
F(x) & = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)- \cdots +(-1)^nf^{(2n)}(x).
\end{split}
\end{equation*} Un semplice calcolo mostra che $f(x)$ e tutte le sue derivate $f^{(j)}(x)$ assumono valori interi in $x=0$; inoltre, lo stesso vale per $x=\pi=a/b$, dato che $f(x)=f(a/b-x)$.

Dalle formule elementari di derivazione otteniamo
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[F'(x) \sin x - F(x) \cos x] = F''(x) \sin x + F(x) \sin x = f(x) \sin x,
\end{equation*} da cui, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale,
\begin{equation} \label{eq:calcolo}
\int_0^{\pi} f(x) \sin x \, \mathrm{d}x = \left[F'(x) \sin x - F(x) \cos x \right]_0^{\pi} = F(\pi)+F(0). \tag{$\heartsuit$}
\end{equation} Per quanto visto, la quantità $F(\pi)+F(0)$ è un intero, dato che lo sono tutte le quantità $f^{(j)}(0)$ e $f^{(j)}(\pi)$.

D'altra parte, per $0 <x <\pi$ abbiamo
\begin{equation*}
0 < f(x) \sin x < \frac{{\pi}^n a^n}{n!}.
\end{equation*} Ciò implica che, per $n$ sufficientemente grande, la funzione $f(x) \sin x$ è positiva ma arbitrariamente piccola in $(0, \, \pi)$, e quindi lo stesso è vero per il corrispondente integrale definito.

Allora si può scegliere $n$ in modo tale che il membro a sinistra di $\eqref{eq:calcolo}$ sia strettamente compreso fra $0$ e $1$, contraddizione. $\square$

I. Niven (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[N47] I. Niven: A simple proof that π is irrational, Bull. Amer. Math. Soc. 53  (1947).