Se $T$ è l'insieme di definizione di una funzione, si dice punto di discontinuità di f(x) ogni punto $x_0 \in DT$ in cui la funzione stessa non è continua o non è definita.
solo se si sottintende che le funzioni in questione siano state tacitamente definite in $x_0$ in modo opportuno.
una funzione non continua in $c$ è detta discontinua in $c$,il che porta a pensare che gli Autori utilizzino l'accezione 1. Subito dopo, però, viene data la definizione di "discontinuità a salto" (quella che altri Autori chiamano "di prima specie") ma, stranamente, senza richiedere che la funzione sia definita nel punto [BPS08, Definizione 3.12 p. 117]. Ciò è reso ancora più esplicito all'inizio di p. 118, dove si dice che
la funzione $x/|x|$ ha un punto di discontinuità a salto in $0$, con salto $2$.
Si capisce meglio il concetto di continuità se si studiano brevemente i punti di discontinuità di una funzione, ossia i punti in cui una funzione non è continua.
Sembra quindi che l'Autore voglia utilizzare il termine "discontinuità" nell'accezione 1. Tuttavia, poco dopo (a p. 151) scrive esplicitamente che $1/x$ e $1/x^2$ hanno una discontinuità "di secondo tipo" in $0$, il che ha senso solo se si utilizza il termine "discontinuità" nell'accezione 2.
Leggendo Marcellini-Sbordone [MS88] sembra che gli Autori propendano per l'accezione 2. Per loro, infatti, una funzione non definita in un punto è per definizione non continua in tale punto; a p. 104 si fornisce come esempio esplicito $f(x)=\sin x/x$ in $x=0$, anche se viene immediatamente osservato che è possibile prolungare tale funzione con continuità ponendo $f(0)=1$. L'analisi delle "discontinuità" che segue è sulla stessa linea: ad esempio, viene definita "discontinuità di seconda specie" un punto $x_0$ tale che uno dei due limiti non esista o non sia finito, senza nulla richiedere sull'esistenza di $f(x_0)$, supponendo quindi implicitamente che $x_0$ sia punto d'accumulazione per il dominio della funzione.
Se $f(x)$ non è continua in $x_0$ si dice che $x_0$ è punto di discontinuità. È opportuno tuttavia ampliare la nozione di punto di discontinuità al caso in cui $f$ non sia necessariamente definita in $x_0$.A scanso di equivoci, alla fine della trattazione di ciascuno dei tre tipi di discontinuità, specifica
non è richiesto che la funzione sia definita in $x_0$.
Questi pochi esempi mostrano come ogni tentativo di dare una risposta alla domanda nel titolo del post finisce per farti addentrare in un ginepraio inestricabile di definizioni spesso fra loro contrastanti. Se devi insegnare la materia, ti chiedi giustamente: Che fare? [L70]. Anche qui, la risposta non è semplice, e probabilmente non esiste neanche una risposta "giusta".
Lemma 1. Il gruppo $B$ non è finitamente generato.
Dimostrazione. $B$ è abeliano e ogni suo elemento ha ordine $2$. Ma un gruppo abeliano finitamente generato e tale che ogni elemento abbia ordine finito è necessariamente finito. $\square$
Consideriamo ora l'omomorfismo di gruppi $$\varphi \colon \mathbb{Z} \to B$$ dato dallo shift $\varphi(n)(a_i)=a_{n+i}$ per ogni $n, \, i \in \mathbb{Z}$. Esso permette di costruire il prodotto semidiretto $$L:=B \rtimes \mathbb{Z}$$ che è un caso particolare di prodotto wreath ristretto (infatti, si ha $L= \mathbb{Z}_2 \mathrm{wr}_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z})$ e una cui presentazione è data da $$L= \langle x_i, \, t \; | \; x_i^2=1, \; \; [x_i, \, x_j]=1, \; \; tx_it^{-1} =x_{i+1}, \; \; i, \, j \in \mathbb{Z} \rangle $$ Qui gli $x_i$ sono i generatori di $B$ e $t$ è un generatore di $\mathbb{Z}$ in notazione moltiplicativa, mentre le relazioni di coniugio esprimono il fatto che $\varphi(1) \colon B \to B$ è l'automorfismo dato dallo shift di $1$.
La presentazione di $L$ descritta sopra ha infiniti generatori; tuttavia (e qui sta il punto cruciale) i generatori di $B$, a parte uno di essi (diciamo $x_0$), sono superflui in quanto si ha $$t^i x_0 t^{-i}=x_i$$ Pertanto, ponendo $x:=x_0$, possiamo riscrivere la presentazione di $L$ come $$L=\langle x, \, t \; | \; x^2=1, \; \; [t^ixt^{-i}, \, t^j x t^{-j}]=1, \; \; i, \, j \in \mathbb{Z}\rangle$$ che può essere ulteriormente semplificata nel modo seguente $$L=\langle x, \, t \; | \; x^2=1, \; \; (t^kxt^{-k}x)^2=1, \; \; k \in \mathbb{Z}\rangle$$ Ciò mostra che $L$ è finitamente generato. Tuttavia, esso contiene come sottogruppo il gruppo $B$, che non è finitamente generato per il Lemma 1.
Osservazione1. $L$ è finitamente generato ma non finitamente presentato. Infatti, la presentazione data ha due generatori e infinite relazioni, e si può mostrare che $L$ non ammette nessuna presentazione finita.
Osservazione 2. $B$ è normale in $L$, e ha indice infinito in esso. Infatti, è noto che un sottogruppo di indice finito di un gruppo finitamente generato è a sua volta finitamente generato.
Osservazione 3. Il nome "lamplighter group" ("gruppo del lampionaio") viene dal fatto che si può pensare agli elementi del gruppo $B=\bigoplus \mathbb{Z}_2$ come ad successioni doppiamente infinite di lampioni, ciascuno dei quali può essere acceso ($\bar{1}$) o spento ($\bar{0}$) e tali che al più un numero finito di lampioni siano accesi insieme. Il generatore $t$ del fattore $\mathbb{Z}$ di $L=B \rtimes \mathbb{Z}$ può essere identificato col lampionaio, la cui azione fa passare da ogni lampione al successivo.
Riferimenti.
[M2012] A. Machì, Groups (Springer 2012), Chapter 4.
