Un gruppo K si dice cancellabile se, per ogni coppia di gruppi G, H,
G \times K \cong H × K implica G \cong H.
Si noti che non si può in generale passare al quoziente per K in ambo i termini di G \times K \cong H × K: il motivo è che non è detto che il dato isomorfismo mandi il sottogruppo \{1\} \times K di G \times K nel sottogruppo \{1\} \times K di H \times K.
Infatti, esistono gruppi che non sono cancellabili. La più semplice famiglia di controesempi si ottiene prendendo come G un gruppo arbitrario e ponendo H=G \times G e K=prodotto numerabile infinito di copie di G.
In questo esempio K non è finitamente generato, ma esistono anche esempi finitamente presentati: addirittura, si dimostra che \mathbb{Z} non è cancellabile in generale [1].
Invece, ogni gruppo finito K è cancellabile. Questo risultato è dovuto a Hirshon [2], si veda anche la dimostrazione elementare data in [3].
Riferimenti.
[2] R. Hirshon, On Cancellation in Groups, The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 9 (1969), pp. 1037-1039
