Prendiamo due punti a caso all'interno di un segmento fissato. Qual è la probabilità che i tre segmenti ottenuti formino un triangolo? La risposta è sorprendentemente bassa: solo $1/4$.
Infatti, supponiamo per semplicità che il segmento sia l'intervallo $[0,\, 1]$ e chiamiamo $x, \, y$ i due punti, con $x < y$. Allora lo spazio delle coppie ammissibili $(x, \, y)$ è il triangolo blu in figura.
D'altra parte, condizione necessaria e sufficiente affinché tre segmenti formino un triangolo è che la lunghezza di ciascuno di essi sia minore della somma delle lunghezze degli altri due.
Si ottengono dunque tre disequazioni lineari che definiscono il triangolo rosso in figura, la cui area è chiaramente un quarto di quella del triangolo blu.
