Suriettività del seno complesso

Com'è ben noto, la funzione $\sin x$, dove $x$ è una variabile reale, ha per immagine il segmento chiuso $[-1, 1]$, dunque è limitata.

Sorprendentemente (almeno per chi si avvicina per la prima volta all'Analisi Complessa) la sua estensione complessa $\sin: \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}$ non solo è non- limitata, ma è addirittura suriettiva.

Questo fatto è una conseguenza sostanzialmente immediata del Piccolo Teorema di Picard [1]. Infatti, la funzione seno complesso è intera e non costante, dunque la sua immagine è tutto $\mathbb{C}$ oppure $\mathbb{C}$ meno un punto $z_0$.

Siccome $\sin(-z)=-\sin z$, se fossimo nel secondo caso si avrebbe $z_0=0$: altrimenti, l'immagine non conterrebbe i due punti distinti $z_0$ e $-z_0$.

D'altra parte, si ha $\sin 0=0$. Segue che $0$ è nell'immagine e dunque il seno complesso è una funzione suriettiva.

Riferimenti:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Picard_theorem

Happy pi-day