Numeri perfetti

Un numero naturale si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori escluso il numero stesso. Ad esempio, $6$, $28$, $496$ sono numeri perfetti, dato che

$6 = 1+2+3$

$28 = 1+2+4+7+14$
$496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248.$

La prima definizione nota di numero perfetto si trova nel Libro VII degli Elementi di Euclide, dove viene dimostrato che, se $p$ è un numero primo tale che $2^p-1$ sia ancora primo, allora $2^{p-1}(2^p-1)$ è un numero perfetto. Ad esempio, prendendo $p=2, \, 3, \, 5$ si ottengono i tre numeri perfetti $6, \, 28, \,496$ considerati sopra. 

I primi di tale tipo sono detti primi di Mersenne (successione OEIS A000668), e al momento non si sa se ne esistano in numero infinito. Sono noti 51 primi di Mersenne, il più grande dei quali è $2^{82589933} − 1$, scoperto a dicembre 2018, che ha $24862048$ cifre decimali. 

Due millenni dopo Euclide, Eulero dimostrò che, viceversa, ogni numero perfetto pari è della forma $2^{p-1}(2^p-1)$, dove $p$ è un primo di Mersenne. Pertanto, vi è una corrispondenza biunivoca fra numeri perfetti pari e numeri primi di Mersenne; in particolare, non è noto se esistano infiniti numeri perfetti pari.

L'esistenza di numeri perfetti dispari è uno dei problemi aperti più famosi e difficili in Teoria dei Numeri, per il quale si hanno solo alcuni risultati parziali. Ad esempio, si sa che un ipotetico numero perfetto dispari deve essere maggiore di $10^{1500}$, possedere almeno 10 fattori primi distinti e che i suoi due più grandi fattori primi devono essere maggiori di $10^8$ e $10^4$, rispettivamente. Tali restrizioni rendono praticamente impossibile la ricerca di un numero perfetto dispari per "brute force", almeno con i calcolatori elettronici attualmente disponibili.

Il teorico dei numeri statunitense C. Pomerance, basandosi su un argomento di tipo euristico, è giunto alla conclusione che i numeri perfetti dispari "non dovrebbero esistere". Maggiori informazioni sul suo argomento probabilistico (e in generale sul problema dell'esistenza di numeri perfetti dispari) possono essere trovati nel sito web  http://oddperfect.org/

Il Problema di Waring

Nel 1770 J. L. Lagrange dimostrò che ogni numero naturale è somma di al più quattro quadrati. Nello stesso anno, motivato da questo risultato, E. Waring propose quello che sarebbe poi diventato noto come

Problema di Waring. Dato un intero positivo $k$, esiste un (minimo) numero $g(k)$ tale che ogni numero naturale $n$ si scriva come somma di al più $g(k)$ potenze $k$-esime?

Banalmente $g(1)=1$, mentre il risultato di Lagrange, insieme al fatto che esistono numeri naturali che non si scrivono come somma di tre quadrati (ad esempio $7$), implica $g(2)=4$.

Nel 1909, D. Hilbert dimostrò [H09] che la risposta al Teorema di Waring è affermativa, ma le sue tecniche non erano costruttive, pertanto non davano indicazioni su come determinare esplicitamente i valore di $g(k)$ in funzione di $k$. Alcuni di tali valori vennero in seguito ricavati da differenti autori utilizzando metodi ad hoc:

• $g(3)=9$ ($n=23$ è il minimo intero positivo che non è somma di $8$ cubi), vedi [W09, K12]
• $g(4)=19$ ($n=79$ è il minimo intero positivo che non è somma di $18$ quarte potenze)
• $g(5)=37$
• $g(6)=73$, vedi [P40].

I valori attualmente conosciuti per $g(k)$ sono tabulati nella successione OEIS A002804, i cui primi termini sono $$1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055.$$ Una quantità correlata a $g(k)$ è $G(k)$, definito come il minimo intero tale che ogni numero naturale $n$ sufficientemente grande si possa esprimere come somma di al più $G(k)$ potenze $k$-esime. Ovviamente, si ha $G(k) \leq g(k)$ per ogni $k$, e l'eguaglianza vale se e solo se esistono infiniti numeri naturali che non si esprimono come somma di $g(k)-1$ potenze $k$-esime.

Siccome nessun intero congruente a $7 $ (modulo $8$) può essere rappresentato come somma di tre quadrati, si ha $G(2)=g(2)=4$. Il problema della determinazione di $G(k)$ è più difficile del corrispondente problema per $g(k)$, e infatti i valori di $G(k)$ per $k \geq 3$ non sono noti (eccetto $G(4)=16$, vedi [D39]), tuttavia si hanno a disposizione alcune stime. Ad esempio, si sa che $4 \leq  G(3) \leq 7 $.

In generale, usando il cosiddetto metodo del cerchio di Hardy e Littlewood, Vinogradov ha dimostrato il bound superiore $$G(k) \leq  k(3 \log k + 11).$$ Per ulteriori dettagli sull'argomento, il lettore può consultare il survey [VW02].

E. Waring (fonte Wikipedia) 

Riferimenti.

[D39] H. Davenport: On Waring's Problem for Fourth Powers, Ann. Math. 40 (1939), 731-747
[H09] D. Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl $n$-ter Potenzen (Waringsches Problem),  Mathematische Annalen  67 (3) (1909), 281–300.
[W09] A. Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt,  Mathematische Annalen 66 (1) (1909), 95–101.
[K12] A. Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem, Mathematische Annalen 72 (3) (1912), 387–399.
[P40] S. S. Pillai: On Waring's problem $g(6)=73$, Proc. Indian Acad. Sci. 12 (1940), 30–40.
[VW02] R.C. Vaughan, T. Wooley: Waring Problem: a survey, in  Number Theory for the Millennium. III. Natick, MA: A. K. Peters. pp. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9.