$6 = 1+2+3$
$28 = 1+2+4+7+14$
$496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248.$
La prima definizione nota di numero perfetto si trova nel Libro VII degli Elementi di Euclide, dove viene dimostrato che, se $p$ è un numero primo tale che $2^p-1$ sia ancora primo, allora $2^{p-1}(2^p-1)$ è un numero perfetto. Ad esempio, prendendo $p=2, \, 3, \, 5$ si ottengono i tre numeri perfetti $6, \, 28, \,496$ considerati sopra.
$496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248.$
La prima definizione nota di numero perfetto si trova nel Libro VII degli Elementi di Euclide, dove viene dimostrato che, se $p$ è un numero primo tale che $2^p-1$ sia ancora primo, allora $2^{p-1}(2^p-1)$ è un numero perfetto. Ad esempio, prendendo $p=2, \, 3, \, 5$ si ottengono i tre numeri perfetti $6, \, 28, \,496$ considerati sopra.
I primi di tale tipo sono detti primi di Mersenne (successione OEIS A000668), e al momento non si sa se ne esistano in numero infinito. Sono noti 51 primi di Mersenne, il più grande dei quali è $2^{82589933} − 1$, scoperto a dicembre 2018, che ha $24862048$ cifre decimali.
Due millenni dopo Euclide, Eulero dimostrò che, viceversa, ogni numero perfetto pari è della forma $2^{p-1}(2^p-1)$, dove $p$ è un primo di Mersenne. Pertanto, vi è una corrispondenza biunivoca fra numeri perfetti pari e numeri primi di Mersenne; in particolare, non è noto se esistano infiniti numeri perfetti pari.
L'esistenza di numeri perfetti dispari è uno dei problemi aperti più famosi e difficili in Teoria dei Numeri, per il quale si hanno solo alcuni risultati parziali. Ad esempio, si sa che un ipotetico numero perfetto dispari deve essere maggiore di $10^{1500}$, possedere almeno 10 fattori primi distinti e che i suoi due più grandi fattori primi devono essere maggiori di $10^8$ e $10^4$, rispettivamente. Tali restrizioni rendono praticamente impossibile la ricerca di un numero perfetto dispari per "brute force", almeno con i calcolatori elettronici attualmente disponibili.
Il teorico dei numeri statunitense C. Pomerance, basandosi su un argomento di tipo euristico, è giunto alla conclusione che i numeri perfetti dispari "non dovrebbero esistere". Maggiori informazioni sul suo argomento probabilistico (e in generale sul problema dell'esistenza di numeri perfetti dispari) possono essere trovati nel sito web http://oddperfect.org/
"esistono numeri perfetti dispari? ", l'ha chiesto Pitagora nel 600 a.C., nessuno ha mai dato una risposta ed è il più antico dei problemi matematici. I numeri perfetti sono numeri uguali alla somma dei propri divisori escluso se stesso, studiati dai matematici è noto che: Euclide ha definito come si generano i numeri perfetti pari, Eulero ha dimostrato che possono essere perfetti solo i numeri definiti da Euclide ma sono passati 2600 anni ed il problema dell'esistenza o meno dei numeri perfetti dispari è ancora irrisolto. E' definito perfetto anche un numero n in cui la somma dei suoi divisori incluso l’1 e se stesso è uguale a 2n e questa definizione richiama una tecnica di verifica in uso 3.500 anni fa quando non si conoscevano i numeri e si gestivano le greggi mettendo in corrispondenza "le pecore con i sassolini", aggiungendo o levando un sassolino per ogni pecora che andava al pascolo, si aveva la possibilità di capire se, ad esempio nell’ovile, rientravano tutte le pecore del gregge. I numeri naturali sono numeri primi o composti e sono infiniti; non si potrà mai affermare di aver verificato tutti i composti pari e tutti i composti dispari per trovare i numeri perfetti ma con la corrispondenza utilizzata per controllare il gregge, si può dimostrare "Perché non possono esistere i numeri perfetti dispari" e dare soluzione al problema posto da Pitagora sull'esistenza dei numeri perfetti dispari. Un numero perfetto è un numero (B) che è uguale alla somma dei propri divisori (A) incluso l’1 ed escluso se stesso ma è anche perfetto quel numero n in cui la somma dei suoi divisori incluso l’1 e se stesso è uguale a 2n. I sassolini, (l'insieme A) che era uguale al numero delle pecore (insieme B), possono identificare e determinare la somma dei divisori di un numero e, come per il gregge, i sassolini che confermavano la quantità delle pecore che tornavano all'ovile, possono essere utilizzati per confermare se la somma dei divisori (insieme A) è o non è uguale ad un numero (insieme B). 2n è un numero perfetto se il numero (B) è uguale ad n (A), il gregge era rientrato se tutti i sassolini A corrispondevano alle pecore B rientrate nell'ovile, pertanto 2n=A+B; A=B/(2-1); B=A(2-1). Gli infiniti numeri dispari sono multipli di numeri primi≥3 (in esempio 21=3*7). 21 può essere un numero dispari perfetto solo se mettendo in corrispondenza i due insieme A con B, (i divisori con il numero) si ottiene che A=B, A+B = 2*A = 2*B; ma, (i divisori del 21 in esempio sono il 7, il 3 e l'1 e la loro somma è 11) A=11, la somma dei divisori è ≠ da B =21. A non sarà mai uguale al numero B; A sarà uguale a B solo se la somma dei divisori viene moltiplicata per (primo≥3-1); l'insieme A = (B+1)/(primo≥3-1) (esempio 11=(21+1)/(3-1)) ed il numero dispari, l'insieme B = A*(primo≥3-1)-1 (esempio 21=(11*(3-1)-1). Nessun numero dispari potrà mai essere perfetto perchè la somma dei sassolini/divisori non sarà mai uguale al numero ma sassolini/somma dei divisori*(primo≥3-1) -1 è uguale al numero. "Il numero 21, ad esempio, è un numero dispari e i suoi divisori sono 3 e 7; i divisori di 21 escluso se stesso sono: 7, 3 e 1 e la somma dei divisori è 11;11 ≠ 21 quindi il numero dispari 21 non è perfetto;" 11 * (3-1) -1 = 11*2-1 = 21....(21+1) / (3-1) = 22/2 =11; nessun numero dispari sarà mai perfetto perché la somma dei divisori di qualunque numero dispari sarà sempre ≠ dal numero dispari stesso.
RispondiEliminaAbilitato sulla rappresentazione e gestione del traffico aereo affermo che, come si rappresenta il traffico degli aeromobili in volo, si può simulare la generazione dei numeri perfetti e si possono rappresentare solo i numeri perfetti pari perchè i numeri perfetti dispari non si possono generare.