Fattoriali e potenze perfette

Domanda. È possibile che il fattoriale $n!$ di un intero $n \geq 2$ sia una $k$-esima potenza perfetta, ossia un intero della forma $m^k$, con $k \geq 2$?

Usando il Postulato di Bertrand (o Teorema di Chebyshev), non è difficile dimostrare che la risposta è negativa.

Proposizione. Se $n \geq 2$, allora $n!$ non è una $k$-esima potenza perfetta.

Dimostrazione. Gli interi $2!=2$ e $3!=6$ non sono potenze perfette. Se $n≥4$, allora per il Postulato di Bertrand esiste un primo $p$ tale che $$\frac{n}{2} < p < n.$$ Siccome $p<n$, sicuramente $p$ divide $n!$. D'altra parte, il più piccolo multiplo non banale di $p$ è $2p$, che per ipotesi è maggiore di $n$ e quindi non compare nella produttoria che definisce $n!$. Ciò mostra che $p^2$ non divide $n!$, quindi $p^k$ non divide $n!$, il che implica che quest'ultimo non può essere una $k$-esima potenza perfetta.

                                                                                                                                                $\square$

Una dimostrazione del medesimo risultato che, invece del Postulato di Bertrand, usa la formula di De Polignac-Legendre (che fornisce la massima potenza con cui un primo $p$ divide $n!$) è proposta in [MSE31973].

Nel 1975, P. Erdős e J. L. Selfridge raffinarono l'argomento usato sopra e provarono che nessun prodotto di due o più interi consecutivi può essere una potenza perfetta. Il lettore interessato può consultare l'articolo originale [ES75] .

Un giovane P. Erdős (fonte: Guggenheim fundation)

Riferimenti.

[ES75] P. Erdős and J. L. Selfridge: The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19, Issue 2 (1975), 292-301.
[MSE31973] https://math.stackexchange.com/questions/31973/n-is-never-a-perfect-square-if-n-geq2-is-there-a-proof-of-this-that-doesn

Numeri di Liouville

Un numero reale si dice trascendente (su $\mathbb{Q}$) se non è radice di una equazione polinomiale a coefficienti interi. La precedente definizione implica che ogni numero trascendente è irrazionale (ma ovviamente non vale il viceversa, si pensi a $\sqrt{2}$) e che  l'insieme dei numeri algebrici (cioè, non trascendenti) è numerabile.

Pertanto, siccome l'insieme dei numeri reali ha cardinalità strettamente maggiore del numerabile, segue che "quasi tutti" i numeri reali sono trascendenti. Tuttavia, questo tipo di argomento nulla ci dice sulla trascendenza di uno specifico numero reale, che può essere molto difficile da dimostrare. Ad esempio, si sa che $\pi$ ed $e$ sono entrambi trascendenti, ma non è al momento noto se la loro somma $\pi+e$ lo sia.

Storicamente, i primi esempi espliciti di numeri trascendenti vennero forniti a metà dell'800 da J. Liouville, come conseguenza dei suoi importanti studi sull'approssimazione diofantea dei numeri irrazionali. Più precisamente, Liouville dimostrò nel 1844 il seguente fondamentale risultato:

Teorema. Supponiamo che $x$ sia un numero irrazionale tale che, per ogni intero positivo $n$, esistano interi $p$ e $q$, con $q>1$, tali che $$\left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}.$$Allora $x$ è trascendente.

 Un esempio di numero reale che verifica le ipotesi del Teorema è la cosiddetta costante di Liouville
$$L= \sum_{n\geq 1} 10^{-n!},$$ ossia, in notazione decimale, $$L= 0.110001000000000000000001 \ldots, $$ dove la cifra $1$ compare nei posti decimali corrispondenti ai fattoriali degli interi.

I numeri reali che verificano le condizioni del Teorema vengono oggi chiamati numeri di Liouville; si noti che la diseguaglianza che li caratterizza ci dice che un numero trascendente di Liouville può essere approssimato "estremamente bene" da una successione di numeri razionali.

È attualmente noto che l'insieme $L$ dei numeri di Liouville è non-numerabile,  denso in $\mathbb{R}$ e di misura di Lebesgue $0$. Ciò implica che "quasi tutti" i numeri trascendenti non sono numeri di Liouville. Ciò nonostante, un risultato di P. Erdős fa vedere che ogni numero reale non nullo pu essere scritto come somma e come prodotto di due numeri di Liouville [E62].  Un esempio notevole di numero trascendente che non è di Liouville è $\pi$, come dimostrato da Mahler nel 1953 [M53].

Per maggiori informazioni sui numeri di Liouville (e più in generale sui numeri trascendenti) il lettore può consultare la monografia [MR14].

J. Liouville (fonte Wikipedia)

Riferimenti.

[E62]  P. Erdős:  Representations of real numbers as sums and products of Liouville numbers, Mich. Math. J. 9, 59-60 (1962)

[M53] K. Mahler: On the Approximation of $\pi$, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.

[MR14] M. R. Murty, P. Rath: Transcendental Numbers, Springer 2014