Domanda. È possibile che il fattoriale $n!$ di un intero $n \geq 2$ sia una $k$-esima potenza perfetta, ossia un intero della forma $m^k$, con $k \geq 2$?Usando il Postulato di Bertrand (o Teorema di Chebyshev), non è difficile dimostrare che la risposta è negativa.
Proposizione. Se $n \geq 2$, allora $n!$ non è una $k$-esima potenza perfetta.Dimostrazione. Gli interi $2!=2$ e $3!=6$ non sono potenze perfette. Se $n≥4$, allora per il Postulato di Bertrand esiste un primo $p$ tale che $$\frac{n}{2} < p < n.$$ Siccome $p<n$, sicuramente $p$ divide $n!$. D'altra parte, il più piccolo multiplo non banale di $p$ è $2p$, che per ipotesi è maggiore di $n$ e quindi non compare nella produttoria che definisce $n!$. Ciò mostra che $p^2$ non divide $n!$, quindi $p^k$ non divide $n!$, il che implica che quest'ultimo non può essere una $k$-esima potenza perfetta.
$\square$
Una dimostrazione del medesimo risultato che, invece del Postulato di Bertrand, usa la formula di De Polignac-Legendre (che fornisce la massima potenza con cui un primo $p$ divide $n!$) è proposta in [MSE31973].
Nel 1975, P. Erdős e J. L. Selfridge raffinarono l'argomento usato sopra e provarono che nessun prodotto di due o più interi consecutivi può essere una potenza perfetta. Il lettore interessato può consultare l'articolo originale [ES75] .
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| Un giovane P. Erdős (fonte: Guggenheim fundation) |
Riferimenti.
[ES75] P. Erdős and J. L. Selfridge: The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19, Issue 2 (1975), 292-301.
[MSE31973] https://math.stackexchange.com/questions/31973/n-is-never-a-perfect-square-if-n-geq2-is-there-a-proof-of-this-that-doesn
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