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23 febbraio 2019

Fattoriali e potenze perfette

Domanda. È possibile che il fattoriale n! di un intero n \geq 2 sia una k-esima potenza perfetta, ossia un intero della forma m^k, con k \geq 2?
Usando il Postulato di Bertrand (o Teorema di Chebyshev), non è difficile dimostrare che la risposta è negativa.
Proposizione. Se n \geq 2, allora n! non è una k-esima potenza perfetta.
Dimostrazione. Gli interi 2!=2 e 3!=6 non sono potenze perfette. Se n≥4, allora per il Postulato di Bertrand esiste un primo p tale che \frac{n}{2} < p < n. Siccome p<n, sicuramente p divide n!. D'altra parte, il più piccolo multiplo non banale di p è 2p, che per ipotesi è maggiore di n e quindi non compare nella produttoria che definisce n!. Ciò mostra che p^2 non divide n!, quindi p^k non divide n!, il che implica che quest'ultimo non può essere una k-esima potenza perfetta.
                                                                                                                                                \square

Una dimostrazione del medesimo risultato che, invece del Postulato di Bertrand, usa la formula di De Polignac-Legendre (che fornisce la massima potenza con cui un primo p divide n!) è proposta in [MSE31973].

Nel 1975, P. Erdős e J. L. Selfridge raffinarono l'argomento usato sopra e provarono che nessun prodotto di due o più interi consecutivi può essere una potenza perfetta. Il lettore interessato può consultare l'articolo originale [ES75] .

Un giovane P. Erdős (fonte: Guggenheim fundation)

Riferimenti.

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