Pronte le stagioni 1, 1, 2 e 3

Fonte: Carlo Hebdo

Dai neutrini agli autovettori

Ho insegnato Algebra Lineare agli studenti di Matematica per molti anni, e ovviamente il classico Teorema Spettrale per matrici Hermitiane costituiva uno dei risultati fondamentali del mio corso. Eppure, se qualcuno mi avesse detto che è possibile calcolare gli autovettori di una matrice Hermitiana di ordine $n$ conoscendone solo i suoi autovalori e quelli delle sue sottomatrici principali di ordine $n-1$, probabilmente l’avrei guardato come si guarda un folle. Una risultato di questo tipo mi sarebbe sembrato troppo bello per poter essere vero.

Eppure, è vero. Il recente preprint Eigenvectors from Eigenvalues di P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang fornisce infatti la seguente semplice e inattesa formula per il calcolo (del quadrato del modulo delle componenti) degli autovettori di una matrice Hermitiana in funzione dei soli autovalori.

Teorema. Sia $A$ una matrice Hermitiana $n \times n$ con autovalori $\lambda_i(A)$ e autovettori normalizzati $v_i$. Sia $M_j$ la sottomatrice di $A$ ottenuta rimuovendo la $j$-esima riga e la  $j$-esima colonna. Allora, indicata con ${(v_i)}_j$ le $j$-esima componente di $v_i$, si ha \begin{equation} \label{taoetal}|{(v_i)}_j|^2 = \prod_{k=1, \, k \neq i}^n (\lambda_i(A)-\lambda_k(A))=\prod_{k=1}^{n-1} (\lambda_i(A)-\lambda_k(M_j))
\tag{$\heartsuit$}\end{equation}

Ancora più incredibile del teorema è la storia della sua scoperta. Denton, Parke e Zhang, infatti, erano giunti a congetturare la formula \eqref{taoetal} studiando un modello matematico che viene dalla Meccanica Quantistica e descrive il comportamento oscillatorio dei neutrini. Convinti che un risultato di questo tipo dovesse essere presente in ogni libro di Algebra Lineare, cercarono quindi un riferimento bibliografico da citare, ma invano. 

Dopo aver anche tentato invano di elaborare essi stessi una dimostrazione, a inizio agosto di quest’anno decisero di contattare T. Tao, vincitore della Medaglia Fields nel 2006 ed esperto internazionale di Teoria dei Numeri e Analisi Armonica. Con loro grande sorpresa, Tao rispose in poche ore, affermando di non aver mai visto niente del genere e fornendo nello stesso tempo tre differenti dimostrazioni dell’identità.

Dopodiché, si sa come vanno oggi queste cose: la notizia di un nuovo risultato per le care, vecchie matrici Hermitiane è diventata virale sui social network, e ha fatto il giro del mondo in poche ore.

Per una descrizione  dettagliata di questa affascinante collaborazione fra matematici e fisici, il lettore può consultare l’articolo ad essa dedicato da N. Wolchover su Quanta Magazine.

T. Tao nel 2006 (fonte Wikipedia)

Matematici in pillole: I.M. Gelfand

Il grande matematico sovietico I.M. Gelfand (1913-2009) organizzò un famoso seminario

alla Moscow State University, che si svolse ininterrottamente dal 1943 al 1989, anno in cui Gelfand si trasferì alla Rutgers University. Il seminario vide la partecipazione di

matematici del calibro di E. Szemerédi, A. Kirillov, E. Frenkel, J. Bernstein, A.Beilinson, ed era famoso, oltre che per l’elevata qualità scientifica, per la modalità padre-padrone con cui veniva gestito da Gelfand.

Esso si svolgeva ogni lunedi nel vasto auditorium al 14mo piano dell’Università, e consisteva di un pre-seminario, che cominciava alle 18, e del seminario vero e proprio, che iniziava verso le 19 e comunque non prima dell’arrivo di Gelfand. Le sedute si protraevano spesso fino alle 22, e terminavano solo perché ad un certo punto arrivava la signora delle pulizie che intimava ai professori di uscire, dato che doveva chiudere a chiave la sala.

Lo stile era fedele al modello russo, con il conferenziere che veniva bombardato senza tregua con domande e osservazioni durante tutta la durata del talk. Se, dopo tre ore, il poveretto dava segnali di cedimento, Gelfand chiedeva ad uno “studente controllore”, da lui personalmente invitato, di spiegare ciò di cui si era discusso. Nel caso malaugurato in cui egli non fosse capace di farlo, la conclusione era invariabilmente che vi era stata poca chiarezza da parte dello speaker, che veniva per questo pubblicamente redarguito.

Fonte:

A. Beilinson: I.M.Gelfand and his seminar -- a presence, arXiv:1505.00710.