Dai neutrini agli autovettori

Ho insegnato Algebra Lineare agli studenti di Matematica per molti anni, e ovviamente il classico Teorema Spettrale per matrici Hermitiane costituiva uno dei risultati fondamentali del mio corso. Eppure, se qualcuno mi avesse detto che è possibile calcolare gli autovettori di una matrice Hermitiana di ordine $n$ conoscendone solo i suoi autovalori e quelli delle sue sottomatrici principali di ordine $n-1$, probabilmente l’avrei guardato come si guarda un folle. Una risultato di questo tipo mi sarebbe sembrato troppo bello per poter essere vero.

Eppure, è vero. Il recente preprint Eigenvectors from Eigenvalues di P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang fornisce infatti la seguente semplice e inattesa formula per il calcolo (del quadrato del modulo delle componenti) degli autovettori di una matrice Hermitiana in funzione dei soli autovalori.

Teorema. Sia $A$ una matrice Hermitiana $n \times n$ con autovalori $\lambda_i(A)$ e autovettori normalizzati $v_i$. Sia $M_j$ la sottomatrice di $A$ ottenuta rimuovendo la $j$-esima riga e la  $j$-esima colonna. Allora, indicata con ${(v_i)}_j$ le $j$-esima componente di $v_i$, si ha \begin{equation} \label{taoetal}|{(v_i)}_j|^2 = \prod_{k=1, \, k \neq i}^n (\lambda_i(A)-\lambda_k(A))=\prod_{k=1}^{n-1} (\lambda_i(A)-\lambda_k(M_j))
\tag{$\heartsuit$}\end{equation}

Ancora più incredibile del teorema è la storia della sua scoperta. Denton, Parke e Zhang, infatti, erano giunti a congetturare la formula \eqref{taoetal} studiando un modello matematico che viene dalla Meccanica Quantistica e descrive il comportamento oscillatorio dei neutrini. Convinti che un risultato di questo tipo dovesse essere presente in ogni libro di Algebra Lineare, cercarono quindi un riferimento bibliografico da citare, ma invano. 

Dopo aver anche tentato invano di elaborare essi stessi una dimostrazione, a inizio agosto di quest’anno decisero di contattare T. Tao, vincitore della Medaglia Fields nel 2006 ed esperto internazionale di Teoria dei Numeri e Analisi Armonica. Con loro grande sorpresa, Tao rispose in poche ore, affermando di non aver mai visto niente del genere e fornendo nello stesso tempo tre differenti dimostrazioni dell’identità.

Dopodiché, si sa come vanno oggi queste cose: la notizia di un nuovo risultato per le care, vecchie matrici Hermitiane è diventata virale sui social network, e ha fatto il giro del mondo in poche ore.

Per una descrizione  dettagliata di questa affascinante collaborazione fra matematici e fisici, il lettore può consultare l’articolo ad essa dedicato da N. Wolchover su Quanta Magazine.

T. Tao nel 2006 (fonte Wikipedia)