Matematici in pillole: Heinz Hopf

Nel 1927 André Weil, allora studente di dottorato a Parigi, era in visita a Berlino, dove gli capitava di compiere lunghi viaggi in tram per recarsi dal suo appartamento all’Università. Nel corso di uno di questi si trovò in compagnia di Heinz Hopf, che stava allora studiando le nuove tecniche di grado topologico introdotte recentemente da Brouwer. 

Ad un certo punto della conversazione, Weil gli chiese: “Di cosa intende occuparsi, quando si stancherà della topologia?”. Al che Hopf, tutto serio, rispose: “Ma io non mi stancherò mai della topologia”.

Fonte.

A. Weil: Souvenirs d’apprendissage, Ch. II.

Suddivisione di un cerchio

Si considerino $n$ punti sul bordo di un cerchio $C$. Qual è il numero massimo di regioni in cui si può suddividere $C$ se si uniscono i punti a due a due con linee rette? 

Per $1, \,2, \,3, \,4, \, 5$ punti si trova facilmente, lavorando un po' con carta e penna, che tale numero è rispettivamente pari a $$1, \, 2, \, 4, \, 8, \,16.$$ Si sarebbe tentati di credere che questa semplice serie di raddoppi continui, e che il numero massimo di regioni sia in ogni caso $2^{n-1}$. Sorprendentemente, questa intuizione si rivela fallace: per $n=6$ si ottiene un numero massimo di regioni pari a $31$ invece che a $32$, come mostra la figura seguente (tratta da [G81]).

Infatti, la formula corretta per il massimo numero di suddivisioni è $$n + \binom{n}{4} + \binom{n-1} {2},$$ i cui valori sono tabulati nella successione OEIS A000127. Tale numero coincide con il numero massimo di regioni in cui lo spazio 4-dimensionale $\mathbb{R}^4$ può essere suddiviso da $n-1$ iperpiani.

Riferimenti

[G81] M. Gardner: Circo Matematico (Sansoni 1981), pp. 203-204.

Matematici in pillole: Laurent Schwartz

Nel 1948, Laurent Schwartz (1915-2002) si recò in Svezia per un ciclo di conferenze sulla Teoria delle Distribuzioni, che aveva creato poco tempo prima. In uno di questi colloqui, ebbe la possibilità di discutere con Marcel Riesz.

Dopo aver scritto alla lavagna la formula di integrazione per parti, allo scopo di illustrare il concetto di derivata debole, venne interrotto da Riesz, che gli disse "I hope you have found something else in your life.”

Fonte.

M. Barany, A.S. Paumier, and J. Lützen: From Nancy to Copenhagen to the World: The internationalization of Laurent Schwartz and his theory of distributions, Historia Mathematica 44, November 2017, Pages 367-394.

Laurent Schwartz (fonte: Wikipedia)

Life isn't supposed to be easy

You have to ignore low-hanging fruits, which is a little tricky. I’m not sure if it’s the best way of doing things, actually you’re torturing yourself along the way. Life isn’t supposed to be easy.
Maryam Mirzakhani 

Source.
E. Klarreich: A Tenacious Explorer of Abstract Surfaces, Quanta Magazine, August 12, 2014.

 

Three years of Sundays

Il 31 ottobre 1903, il matematico americano Frank Nelson Cole si alzò durante una riunione dell'American Mathematical Society per una comunicazione. 

Andò alla lavagna e scrisse da una parte $$2^{67} − 1$$ e, in completo silenzio, svolse il calcolo ottenendo $147573952589676412927$.

Dall'altra parte scrisse $$193707721 × 761838257287$$ e, sempre nel più completo silenzio, svolse il calcolo, ottenendo il medesimo risultato.

Fatto ciò, Cole ritornò al suo posto, senza avere pronunciato una singola parola nel corso di tutta la "dimostrazione", e venne accolto da un applauso scrosciante: aveva appena fatto vedere che il numero di Mersenne $M_{67}$ è composto.

In che modo Cole aveva compiuto la sua impresa, visto che all'epoca i calcolatore elettronici non esistevano? La questione è oggetto di un interessante thread su MathOverflow. Come è facile immaginare, il punto di partenza sta nel Piccolo Teorema di Fermat.

Se $p$ è un primo che divide $2^{67}-1$ e $d$ è l'ordine di $2$ in $\mathbb{F}_p$ allora, dal fatto che

$$2^{67} \equiv 1 \;\; (\textrm{mod } p) \quad  e \quad 2^{p-1} \equiv 1 (\textrm{mod } p)$$segue che $d$ divide MCD($p-1, \, 67$). Ma $d>1$ e $67$ è primo, quindi $d=67$ da cui $67$ divide $p-1$.

Ciò implica che ogni fattore primo $p$ di $2^{67}-1$ è della forma $p=67k+1=134h+1$ (qui $k$ è pari dato che $p$ è dispari). Nonostante questa restrizione sui fattori, Cole affermò che per trovarli esplicitamente aveva dovuto impiegare "le domeniche di tre anni" [3].

Cole fu molto attivo in ambito organizzativo, ricoprendo la carica di segretario dell'AMS a partire dal 1895. Oggi il Cole Prize in Algebra and Number Theory porta il suo nome.

Riferimenti.

[C1903] F. N. Cole: On the factoring of large numbers, Bull. Amer. Math. Soc. 10 (1903), 134–137 .

Frank Nelson Cole (fonte: Wikipedia)