L'irrazionalità di $e$

Esponiamo la celebre dimostrazione in poche righe dell'irrazionalità di $e$, dovuta a Joseph Fourier. L'idea è quella di ragionare per assurdo, spezzando in modo opportuno il noto sviluppo in serie e maggiorando una delle quantità risultanti per mezzo di una serie geometrica. 

Teorema. Il numero di Nepero $e$ è irrazionale. 

Dimostrazione.  Supponiamo per assurdo che $e$ sia razionale, cioè che si possa scrivere $e=m/n$ con $m, \, n \in \mathbb{N}$. Allora si ha 

\begin{equation*}
\frac{m}{n}=\sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{1}{k!} \end{equation*} da cui, dopo avere moltiplicato entrambi i termini per $n!$, si ottiene \begin{equation*}\begin{split} & m(n-1)! -  \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!} = \sum_{k=n+1}^{+ \infty} \frac{n!}{k!} \\ = &  \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+ \ldots \\ <  &  \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}+ \frac{1}{(n+1)^3}+ \ldots \\ = & \frac{1}{n} \end{split}\end{equation*} Il primo termine a sinistra è un intero positivo, mentre l'ultimo a destra è compreso strettamente fra $0$ e $1$, contraddizione. $\square$