Insight

The purpose of computing is insight, not numbers.

Source: 
Richard Hamming: Numerical Methods for Scientists and Engineers, McGraw-Hill 1962, https://archive.org/details/numericalmethods0000hamm

L'identità di Simson

Consideriamo la ben nota successione di Fibonacci, definita per ricorrenza da $$F_0=0, \quad F_1=1, \quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} \;\;\text{per} \;\; n\geq 2. $$ Allora vale la relazione

$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$

 detta identità di Simson, vedi [1, p. 168]. 

Vogliamo qui presentare una elegante dimostrazione di questo risultato, che si basa su semplici considerazioni di algebra lineare. Considerata la matrice a coefficienti interi \begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 &0  \end{pmatrix}, \end{equation*} un semplice argomento per induzione mostra che per ogni $n \geq 1$ vale\begin{equation} \label{induzione} \tag{$\heartsuit$} A^n= \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n  & F_{n-1} \end{pmatrix}. \end{equation} Eguagliando i determinanti dei due termini in \eqref{induzione}, si ottiene  $$(-1)^n= (\det A)^n= \det A^n=F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2$$ che è l'identità cercata.

Riferimenti.
[1] H. S. M. Coxeter: Introduction to Geometry, Wiley 1961.

La cinghia di Möbius

Nel 1949, la B. F. Goodrich Company  brevettò una cinghia di trasmissione a forma di nastro di Möbius

A detta del suo inventore Owen H. Harris, essa si sarebbe usurata più lentamente di una cinghia tradizionale, dato che le sollecitazioni di attrito si sarebbero distribuite su una superficie doppia rispetto a quest'ultima.

Image credits: Fermat's Library on Twitter (@fermatslibrary)

The music of stars

Nel 1970, il radioastronomo Harold R. Craft discusse la sua tesi di dottorato Radio Observations of the Pulse Profiles and Dispersion Measures of Twelve Pulsars, che conteneva l'analisi dei dati per alcune pulsar raccolti dal radiotelescopio di Arecibo.

Nove anni dopo, uno dei diagrammi contenuti nella dissertazione di Craft (quello relativo a CP 1919) sarebbe diventato l'iconica copertina di Unknown Pleasures dei Joy Division.

Image credits: Scientific American

Proofs without words 3

Visual proof of the trigonometric identity

$$\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi$$

The Shepp-Logan phantom

Nel 1974, Larry Shepp e Benjamin Logan pubblicarono l'articolo [1], in cui introdussero quello che venne poi chiamato lo Shepp-Logan phantom.

Si tratta di una figura costituita da 10 ellissi in un quadrato, che somiglia vagamente alla sezione di un cervello umano e viene ancora oggi utilizzata per testare gli algoritmi di ricostruzione di immagini adoperati in ambito di diagnostica medica [2].

Fonte: Wikipedia

Riferimenti.

[1] L. Shepp., B. Logan: The Fourier Reconstruction of a Head Section, IEEE Transactions on Nuclear Science NS-21 (3): 21–43 (1974), doi:10.1109/TNS.1974.6499235

[2] http://www.mathisintheair.org/.../guardare-la-sorpresa.../

The sophomore dream

Johann Bernoulli's identity, known as the sophomore dream (1697).

References.

[1] Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381

[2] William Dunham "3: The Bernoullis (Johann and $x^x$)", The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 46–51 (2005)