L'identità di Simson

Consideriamo la ben nota successione di Fibonacci, definita per ricorrenza da $$F_0=0, \quad F_1=1, \quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} \;\;\text{per} \;\; n\geq 2. $$ Allora vale la relazione

$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$

 detta identità di Simson, vedi [1, p. 168]. 

Vogliamo qui presentare una elegante dimostrazione di questo risultato, che si basa su semplici considerazioni di algebra lineare. Considerata la matrice a coefficienti interi \begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 &0  \end{pmatrix}, \end{equation*} un semplice argomento per induzione mostra che per ogni $n \geq 1$ vale\begin{equation} \label{induzione} \tag{$\heartsuit$} A^n= \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n  & F_{n-1} \end{pmatrix}. \end{equation} Eguagliando i determinanti dei due termini in \eqref{induzione}, si ottiene  $$(-1)^n= (\det A)^n= \det A^n=F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2$$ che è l'identità cercata.

Riferimenti.
[1] H. S. M. Coxeter: Introduction to Geometry, Wiley 1961.