30 giugno 2021
27 giugno 2021
x^y=y^x
Il grafico della curva x^y=y^x (per x>0, \, y>0) consiste di due rami distinti. Uno è la bisettrice del primo e terzo quadrante, corrispondente alle soluzioni ovvie (x,\, x). L'altro è la curva avente equazione parametrica
x=t^{1/t-1}, \quad y=t^{t/t-1},
corrispondente alle soluzioni non banali. I due rami si intersecano nel punto (e, \, e) [1].
Con queste informazioni, è facile determinare le regioni del primo quadrante in cui è verificata la diseguaglianza x^y>y^x: sono quelle colorate in rosso nel grafico allegato, realizzato con Desmos [2].
Il punto (e, \, \pi) è disegnato in viola.
Riferimenti.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Equation_x%CA%B8_%3D_y%CB%A3
[2] https://www.desmos.com/calculator
26 giugno 2021
Una semplice dimostrazione della diseguaglianza e^{\pi} > {\pi}^e.
Dalla formula di Taylor abbiamo e^{x} >1+x per ogni x>0. Preso x=\pi/e−1, si ottiene e^{\pi/e−1} > \pi/e. Moltiplicando per e, si ricava e^{\pi/e} > \pi. Infine, elevando ad e, si ha la diseguaglianza voluta.
Infatti e^{\pi} ≃ 23,14, mentre \pi^e ≃ 22,46.
20 giugno 2021
Two shall become one
Möbius Strip gold wedding band, inscribed with the biblical quote "Two shall become (one)."
Source: Wikipedia Commons
13 giugno 2021
"This is a very limited field"
Wolfgang Pauli, used as a touchstone of Theoretical Physics, was a member of the Institute since 1935 and won the Nobel Prize precisely in 1945.
11 giugno 2021
Hilbert 90, parametrizzazioni razionali ed equazioni di Pell
L'importanza di questo enunciato (e soprattutto delle sue moderne interpretazioni in termini di Coomologia di Galois) va ben al di là di un breve post sul blog. Pertanto, ci limiteremo a far vedere come Hilbert 90 può essere utilizzato per determinare soluzioni razionali di particolari equazioni diofantee o, in termini più geometrici, parametrizzazioni razionali di particolari coniche nel piano affine.
Esempio 1. La circonferenza unitaria.
Consideriamo l'estensione di campi \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}, il cui gruppo di Galois ha ordine 2 ed è generato dal \mathbb{Q}-automorfismo \sigma \colon \mathbb{Q}(i) \to \mathbb{Q}(i) tale che \sigma(i)=-i. Allora N(x+iy)=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2, in altre parole gli elementi di norma 1 dell'estensione possono essere identificati con i punti razionali della circonferenza unitaria x^2+y^2=1.
x+iy = (u-iv)/(u+iv)=(u-iv)^2/(u^2+v^2)=\frac{1}{(u^2+v^2)}\left( (u^2-v^2)+i(-2uv) \right)
07 giugno 2021
Hedy Lamarr
(Oscar Wilde, The Picture of Dorian Gray)
Lamarr aveva compiuto studi di ingegneria a Vienna, pur senza terminarli, ed era estremamente brillante. Durante la Seconda Guerra Mondiale, brevettò insieme al compositore George Antheil
un sistema di radio-guida per i siluri (U.S. Patent 2,292,387), che non fu mai implementato nei sottomarini alleati a causa di difficoltà tecniche di realizzazione [2].
Oggi la trasmissione a spettro espanso descritta in quel brevetto ("frequency-hopping spread spectrum") è utilizzata nei sistemi di rete wireless e in quelli bluetooth.
Nel 2018 è stata pubblicata da Life Drawn la biografia a fumetti, di Roy e Dorange, "Hedy Lamarr: An Incredible Life" [3].
Riferimenti
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Hedy_Lamarr
[2] https://patents.google.com/patent/US2292387
06 giugno 2021
Experiments
Mathematics is an experimental science, and definitions do not come first, but later on.
Oliver Heaviside (1850 - 1925)
Source: On operators in physical mathematics, part II, Proceedings of the Royal Society of London, Vol. 54, 1893, p. 12
01 giugno 2021
When Fermi met Dirac
Richard Feynman a Paul Dirac discutono durante una conferenza sulla Relatività tenuta a Varsavia (luglio 1962). La foto fu scattata da Marek Holzman [1].
È rimasto famoso lo scambio di battute fra il vulcanico ed estroverso Feynman e il laconico e timido Dirac al momento del loro incontro, che Graham Farmelo definisce "degno di Harold Pinter", facendolo risalire al Congresso Solvay 1961 [2, p. 482].
F. I am Feynman.
D. I am Dirac.
[Silence]
F. (with admiration) It must be wonderful to be the discoverer of that equation.
D. That was a long time ago. [Pause] What are you working on?
F. Mesons.
D. Are you trying to discover an equation for them?
F. It is very hard.
D. One must try.
Riferimenti
[1] https://ysfine.com/dirac/dirfeyn.html
[2] G. Farmelo: L'uomo più strano del mondo, Cortina Editore 2013.
Caltech Archives: https://digital.archives.caltech.edu/collections/Images/1.10-15/