L'importanza di questo enunciato (e soprattutto delle sue moderne interpretazioni in termini di Coomologia di Galois) va ben al di là di un breve post sul blog. Pertanto, ci limiteremo a far vedere come Hilbert 90 può essere utilizzato per determinare soluzioni razionali di particolari equazioni diofantee o, in termini più geometrici, parametrizzazioni razionali di particolari coniche nel piano affine.
Esempio 1. La circonferenza unitaria.
Consideriamo l'estensione di campi $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$, il cui gruppo di Galois ha ordine $2$ ed è generato dal $\mathbb{Q}$-automorfismo $\sigma \colon \mathbb{Q}(i) \to \mathbb{Q}(i)$ tale che $\sigma(i)=-i$. Allora $$N(x+iy)=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2,$$ in altre parole gli elementi di norma $1$ dell'estensione possono essere identificati con i punti razionali della circonferenza unitaria $x^2+y^2=1$.
Per Hilbert 90, ogni tale elemento si esprime nella forma
$$x+iy = (u-iv)/(u+iv)=(u-iv)^2/(u^2+v^2)=\frac{1}{(u^2+v^2)}\left( (u^2-v^2)+i(-2uv) \right)$$
$$x+iy = (u-iv)/(u+iv)=(u-iv)^2/(u^2+v^2)=\frac{1}{(u^2+v^2)}\left( (u^2-v^2)+i(-2uv) \right)$$
per opportuni numeri razionali $u, \, v$. In tal modo, abbiamo ottenuto la ben nota parametrizzazione razionale della circonferenza unitaria $$(x, \, y) = \frac{1}{(u^2+v^2)} (u^2-v^2, \, -2uv),$$ da cui segue che esistono infiniti punti razionali sulla circonferenza, che formano un insieme denso nella topologia euclidea.
Esempio 2. L'equazione di Pell.
Sia $D$ un numero intero positivo che non sia un quadrato perfetto. Allora l'estensione di campi $\mathbb{Q}(\sqrt{D})/\mathbb{Q}$ ha gruppo di Galois di ordine $2$, generato dal $\mathbb{Q}$-automorfismo $\sigma \colon \mathbb{Q}(\sqrt{D} \to \mathbb{Q}(\sqrt{D})$ tale che $\sigma(\sqrt{D})= -\sqrt{D}$. Pertanto $$N(x+\sqrt{D}y)=(x+\sqrt{D}y)(x-\sqrt{D}y)=x^2-Dy^2,$$ in altre parole gli elementi di norma 1 nell'estensione possono essere identificati con le soluzioni razionali dell'equazione di Pell [2] $$x^2-Dy^2=1.$$ Per Hilbert 90, ogni tale elemento di norma $1$ si esprime nella forma $$x+\sqrt{D}y = (u- \sqrt{D} v)/(u+\sqrt{D}v)=\frac{1}{(u²-Dv²)} \left((u²+Dv²) +\sqrt{D} (-2uv) \right))$$ per opportuni numeri razionali $u, \, v$. In tal modo, abbiamo ottenuto la parametrizzazione $$(x, \, y) = \frac{1}{(u^2-Dv^2)} (u^2+Dv^2, \, -2uv),$$ da cui segue che esistono infinite soluzioni razionali dell'equazione di Pell.
Il lettore più attento avrà notato che, in entrambi queste situazioni, si potevano ricavare le parametrizzazioni senza ricorrere ad Hilbert 90. Infatti, se una conica definita su $\mathbb{Q}$ possiede un punto razionale, allora per proiezione stereografica da tale punto se ne ricavano infiniti. Bastava quindi determinare una soluzione razionale particolare e proiettare da essa per ottenere tutte le altre; ad esempio, si poteva prendere in entrambi i casi $(x, \, y)=(1, \, 0)$.
