Gruppi cancellabili

Un gruppo $K$ si dice cancellabile se, per ogni coppia di gruppi $G$, $H$, 

$G \times K \cong H × K$ implica $G \cong H.$ 

Si noti che non si può in generale passare al quoziente per $K$ in ambo i termini di $G \times K \cong H × K$: il motivo è che non è detto che il dato isomorfismo mandi il sottogruppo $\{1\} \times K$ di $G \times K$ nel sottogruppo $\{1\} \times K$ di $H \times K$. 

Infatti, esistono gruppi che non sono cancellabili. La più semplice famiglia di controesempi si ottiene prendendo come $G$ un gruppo arbitrario e ponendo $H=G \times G$ e $K=$prodotto numerabile infinito di copie di $G$. 

In questo esempio $K$ non è finitamente generato, ma esistono anche esempi finitamente presentati: addirittura, si dimostra che $\mathbb{Z}$ non è cancellabile in generale [1].

Invece, ogni gruppo finito $K$ è cancellabile. Questo risultato è dovuto a Hirshon [2], si veda anche la dimostrazione elementare data in [3].

Riferimenti.

[1]  https://math.stackexchange.com/questions/349826/counterexample-g-times-k-cong-h-times-k-implies-g-cong-h?noredirect=1&lq=1

[2] R. Hirshon, On Cancellation in Groups, The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 9 (1969), pp. 1037-1039

[3] https://math.stackexchange.com/questions/349855/does-g-times-k-cong-h-times-k-imply-g-cong-h?noredirect=1&lq=1

Technique

 A technique is a trick that works twice.

- Attribution unknown -

The Foias constant

The Foias constant [1] is the unique initial value $x_1= \alpha$ such that the sequence defined by the recurrence $$x_{n+1} = \left(1+\frac{1}{\, x_n} \right)^n$$ diverges to $+\infty$. Numerically, it is 

$$\alpha=1.18745235112650 \ldots$$

No closed form for the constant is known, and its transcendence has not been proven so far.

The constant is named after Ciprian Ilie Foias (1933-2020), a Romanian-American mathematician famous for contributing to PDE, Operator Theory, and Control Theory [2, 3].

The history of its discovery is a curious example of serendipity. In the mid-seventies, when Foias was teaching at the University of Bucharest, an error of a typist changed an easy basic exercise to a very challenging one. Foias took the challenge and eventually solved the accidentally invented difficult problem [4].

References.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Foias_constant
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Ciprian_Foias
[3] Remembrances of Ciprian Ilie Foias, Notices AMS 69 (9), October 2022.
[4] J. Ewing, C. Foias: An Interesting Serendipitous Real Number. In Finite versus Infinite: Contributions to an Eternal Dilemma (Ed. C. Caluse and G. Păun). London: Springer-Verlag, pp. 119–126, 2000.

Whitney approximation theorem: $\mathbb{S}^n$ is simply connected for $n \geq 2$

Let me give a proof of the fact that the $n$-sphere $\mathbb{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ is simply connected for $n \geq 2$, which is based on differential topology methods (instead than on the Seifert-Van Kampen theorem). We will use the following two results:

(1) Whitney Approximation Theorem: Every continuous map $f \colon M \to N$ between smooth manifolds is homotopic to a smooth map.

(2) Sard Theorem: Let $f \colon  M \to N$ be a smooth map between smooth manifolds, and let $\operatorname{Crit}(f)$ be the locus of points of $M$ where the differential df has rank $< \dim(N)$. Then the image of $\operatorname{Crit}(f)$ has zero Lebesgue measure in $N$. In particular, if $\dim(M) < \dim(N)$ then $f$ cannot be surjective.

Given a continuous loop $c \colon [0, \, 1] \to \mathbb{S}^n$, we want to show that $c$ is homotopically trivial. By (1), it is not restrictive to assume that $c$ is piecewise smooth. Then, by (2), $c$ cannot be surjective (recall that we are assuming $n \geq 2$).

Now, take a point $p$ not in the image of $c$. Then we can see $c$ as a loop in $\mathbb{S}^n-\{p\}$, which is a contractible space (it is homeomorphic to $\mathbb{R}^n$ via the stereographic projection). So $c$ is homotopically trivial.

Remark. The regularization provided by (1) is essential here. In fact, there exist continuous, non-smooth loops "of Peano type", whose image is the whole sphere.

Job

Julia Robinson's description of her own job:

Monday: Try to prove theorem
Tuesday: Try to prove theorem
Wednesday: Try to prove theorem
Thursday: Try to prove theorem
Friday: Theorem false

Source: MacTutor

Principio dei cassetti

Volevo spiegare a mia figlia di otto anni il Principio dei Cassetti, quindi ho cominciato con il solito esempio: "Siccome ci sono più abitanti a Roma che capelli sulla testa di una persona, sicuramente esistono due romani che hanno un numero identico di capelli". E lei: "Beh sì, immagino che in tutta Roma non sia difficile trovare due calvi!"

Sottoinsiemi numerabili di insiemi infiniti

 È vero che ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile? La sorprendente risposta è "dipende". Intuitivamente, se $X$ è infinito potremmo tentare di costruire un sottoinsieme numerabile di $X$ come segue. Scegliamo un elemento $x_1 \in X$, poi un elemento $x_2 \in X−\{x₁\}$, poi un elemento $x_3 \in  X−\{x_1, \,  x_2\}$ e così via. In tal modo, per ogni numero naturale $n$, si ottiene un sottoinsieme di $X$ equipotente a $\{1,\ldots,n\}$, ossia una funzione iniettiva $\{1,\ldots,n\}\to X$. 

Il punto cruciale (e delicato) è che, per essere sicuri che si possano "incollare" queste infinite funzioni iniettive in modo da formare un sottoinsieme numerabile  $(x)_n \subseteq X$, è necessario l'Assioma di Scelta (o, più precisamente, una sua versione debole nota come Assioma di Scelta Numerabile [1, 2]). 

Senza Assioma di Scelta il risultato è in generale falso. Infatti, è consistente con ZF l'esistenza di un insieme infinito ma Dedekind-finito, ossia di un insieme infinito X che non ammetta nessuna funzione iniettiva $\mathbb{N} \to X$, si veda  [3, 4] e la risposta di A. Karagila in [5].

Riferimenti.

[1] https://proofwiki.org/wiki/Infinite_Set_has_Countably_Infinite_Subset
[2] https://proofwiki.org/wiki/Axiom:Axiom_of_Countable_Choice
[3] https://math.stackexchange.com/questions/1973256/every-infinite-set-contains-a-countable-subset
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind-infinite_set
[5] https://math.stackexchange.com/questions/1396676/is-axiom-of-choice-necessary-for-proving-that-every-infinite-set-has-a-countably

Finite groups of order at most $2000$

There exist $49910529484$ finite groups of order at most $2000$. Among these, $49487365422$ (that is, more than $99 \%$) have order $1024$.

References.

[1] https://www.math.auckland.ac.nz/~obrien/research/2000-announce.pdf
[2] https://math.stackexchange.com/questions/241369/more-than-99-of-groups-of-order-less-than-2000-are-of-order-1024

Monotonìa di funzioni differenziabili

Un noto risultato di Analisi 1 afferma che, se una funzione differenziabile $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ soddisfa $f'>0$ nell'intorno di un punto, allora essa è crescente in tale intorno.
Un'interpretazione errata (e piuttosto diffusa) di questo teorema è che, se $f'(a)>0$, allora $f$ è crescente in un intorno di $a$. La cosa è vera se $f'$ è continua (dato che in tal caso, per permanenza del segno, $f'$ è positiva in un intorno di $a$) ma è falsa in generale.

Un classico controesempio è fornito dalla funzione $$f(x)=x^2 \sin \frac{1}{x}+x, \quad f(0)=0,$$ che  verifica $f'(0)=1$ ma non è monotona in nessun intorno di $0$.

Patologie come questa illustrano bene la differenza fra funzioni differenziabili e funzioni di classe $C^1$ (cioè, differenziabili con derivata continua).

The Conway Circle

Take any triangle, and extend the two sides meeting at each vertex by the length of the opposite side. Then the six endpoints of the three resulting line segments lie on a circle, called the Conway circle of the triangle [1], whose centre is the incentre of the triangle.

References.

[1] https://mathworld.wolfram.com/ConwayCircle.html

Natural characterization of trace zero endomorphisms

Consider a $2$-dimensional vector space $V$ over a field $k$ of characteristic different from $2$. Since every $2\times2$ matrix can be written in a unique way as the sum of a symmetric matrix and a skew-symmetric one, we have the direct sum decomposition $$V \otimes V = \operatorname{Sym}^²V \oplus \wedge^2 V.$$ Taking the tensor product with the dual space $V^*$, and using the identification
$$V \otimes \wedge^2 V^* = V^*$$ (coming from the bilinear pairing on $V$ induced by the wedge product, namely $v \otimes w \mapsto v \wedge w$), we get an identification $$V^*\otimes V = (\operatorname{Sym}^2V \otimes \wedge^2V^*) \oplus k.$$ On the other hand, $V^* \otimes V = \operatorname{Hom}(V, \, V)$, so we get a further identification $$\operatorname{Hom}(V, \,V) = (\operatorname{Sym}^2V \otimes \wedge^2 V^*) \oplus k.$$

Proposition. Under the above identification, an endomorphism $f \colon V \to V$ satisfies $\operatorname{trace}(f)=0$ if and only if it lies in the first summand $\operatorname{Sym}^2V \otimes \wedge^2 V^*.$ In other words, $\operatorname{Sym}^2V \otimes \wedge^2 V^*$ is naturally identified with the vector space $\operatorname{Hom}_0(V, \, V)$ of trace zero endomorphisms of $V$.

Pitagora boemo

 Spilla acquistata ad un mercatino di Praga.

A real binary tree

 

Image Source: https://www.palmpedia.net/wiki/Hyphaene_compressa