Numeri primi come somma di quadrati

Un classico risultato enunciato da Fermat e dimostrato per la prima volta da Eulero intorno al 1750 afferma che un numero primo dispari si può esprimere (in modo essenzialmente unico) come somma di quadrati se e solo se esso è congruo a 1 (mod 4), cioè se e solo se è della forma $4k+1$. Ad esempio $5$, $13$, $17$ si esprimono come somma di quadrati, mentre $3$, $7$, $11$ no.

La dimostrazione originale di Eulero usa la discesa infinita, che è una tecnica per assurdo che usa l'induzione discendente insieme al principio del buon ordinamento per i numeri naturali. Le dimostrazioni moderne riportate sui libri di testo usano invece l'idea di Dedekind di fattorizzare i primi nell'anello euclideo degli interi di Gauss $\mathbb{Z}[i]$, vedi ad esempio la corrispondente pagina Wikipedia.

Infatti, utilizzando il fatto che ogni anello euclideo è un PID, si mostra che un primo p si fattorizza non-banalmente in $\mathbb{Z}[i]$ se e solo se è della forma $4k+1$. Siccome $N(p)=p^2$ e la norma è moltiplicativa, si vede che questa fattorizzazione è necessariamente della forma
$$\begin{equation*} p=(a+bi)(a-bi), \end{equation*}$$
da cui dunque $p=a^2+b^2$.

Si può anche dimostrare che sia i primi della forma $4k+3$ che quelli della forma $4k+1$ sono infiniti, pertanto esistono infiniti primi non esprimibili come somma di quadrati ed infiniti che lo sono.

L'infinità dei primi del tipo $4k+3$ segue facilmente da considerazioni elementari à la Euclide; per quella dei primi del tipo $4k+1$ occorre invece usare tecniche più sofisticate, come la teoria dei polinomi ciclotomici.

P. de Fermat (fonte: Wikipedia)