Teorema. I tre punti di intersezione delle tre coppie di trisettrici adiacenti di un triangolo qualsiasi formano sempre un triangolo equilatero.
Si tratta di un enunciato di grande bellezza e semplicità, di cui si conoscono varie dimostrazioni, alcune delle quali piuttosto intricate. Una dimostrazione elementare è stata data da J. Conway (1967), e una puramente algebrica più di recente da A. Connes (1998). Per una panoramica sull'argomento si può leggere la corrispondente pagina Wikipedia e i riferimenti bibliografici in essa contenuti.
Il fatto che tale risultato fosse (per quanto ne sappiamo) ignoto ai geometri dell'antichità, che conoscevano invece molti risultati sulle bisettrici dei triangoli, è dovuto probabilmente alla loro reticenza a trattare problemi che non fossero in grado di risolvere con riga e compasso.
Di fatto, è oggi ben noto che la trisezione di un angolo generico $\theta$ è equivalente alla costruzione di una radice $x=\cos(\theta/3)$ del polinomio di terzo grado
\begin{equation*}
4x^3-3x- \cos \theta,
\end{equation*} che risulta irriducibile sull'estensione di campi $\mathbb{Q}(\cos \theta)$. Da ciò segue l'impossibilità della trisezione di un angolo generico con gli strumenti classici, dato che il grado del polinomio minimo di un numero costruibile è necessariamente una potenza di $2$.
Nessun commento:
Posta un commento